CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI

iicients de sin2ir, sin3a:, sin4«^» sin5^, On emploiera pour cela

les équations

.,' (o)+^9Mo)+^-^5?Mo)+-3-^g-r-(o)^... = I<p (::).

?Mo) + ;59-(o) + ^^9''(o)-....

TT

au moyen de cette réduction, on donnera à Téquation (A) la forme suivante

sin ^Uctt)— ^<ï)*(7r)-h ^.'^'""(t:)jsinS^ 19(71)- ^,9''(^)^- jiT'^'C^) - ^9^'{t^)-^'"

— ^sin/jj? 9(Tr) —

OU celle-ci

-9(07)1=19 (7r)(sinj7 sin2j?-i-^ sinS^r — ...j

9' (tt) ( sinj7 — 9*^(7:) ( sin.r — 9^'(7r) ( sinj: —

-r sin2.r -t- içz sinojc — .

— sin2:r -H Tp smouC — .

— , sm2J7 — ^ sinoj: — .

On peut appliquer Tune ou l'autre de ces formules toutes les fois que Ton aura à développer une fonction proposée en une série de sinus d'arcs multiples. Si, par exemple, la fonction proposée est e' — e""^^ dont le développement ne contient que des puissances impaires de a% on aura

TZ e^ — e '

%\x\x snisîx-f-;T sm3,r— ...

snij:' ; sin2j^ -h ;,- sin3j~ — .

siii.r sni 2JE" H- — sni 3ar — .

suur sni2^ h- tt; sm3a: — . .

siiiJ? r sin2.r -f- 777. sîn3.r — . .

En distinguant les coefficients de sin^r, sina^r, sinSar, sin/|x, ... et mettant au lieu de -, h — ; :? -h . . . sa valeur . 1 on aura

-r -h . . . sa valeur -^—

siiijr sin2j:* sin3.r sin/J^r

2 Éî^ — e~'^

On pourrait multiplier, ces applications et en déduire plusieurs séries remarquables. On a choisi l'exemple précédent parce qu'il se présente dans diverses questions relatives à la propagation de la chaleur (*).

i>) Bien des points, dans cet article et dans les précédents, appelleraient encore les critiques. Fouricr décompose les séries oblenues et leurs coefficients d'une manière tout à fait arbitraire. 11 est évidemment impossible de justifier la substitution de la valeur i à la série

que l'illustre auteur opère ici pour déterminer le coefficient de sin.r.