CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI

Nous avons supposé jusqu'ici que la fonction dont on demande le développement en séries de sinus d'arcs multiples peut être développée en une série ordonnée suivant les puissances de la variable x, et qu'il n'entre dans cette dernière série que des puissances impaires. On peut étendre les mêmes conséquences a des fonctions quelconques, même à celles qui seraient discontinues et entièrement arbitraires. Pour établir clairement la vérité de cette proposition, il est nécessaire de poursuivre l'analyse qui fournit l'équation précédente (B) et d'examiner quelle est la nature des coefficients qui multiplient sin^z-, sinsît*,

sin3a;, sin4^9 En désignant par - la quantité qui multiplie dans

cette équation - sinno? si n est impair, et sinn^ si n est pair, on

aura

Considérant s comme une fonction de u, différentiant deux fois et comparant les résultats, on trouve

équation à laquelle la valeur précédente de s doit satisfaire. Or l'équation

dans laquelle^ est considérée comme une fonction de x, a pour intégrale

s = acosnœ -h bsînnx -^ nsïnna: j (p(:r) cosnx dx

— ncosnx I cp{x)sïnnx dx;

n étant un nombre entier et la valeur de x étant égale à ir, on a

=i:db « / 9(x) sïn nx'dx.

Le signe 4- doit être choisi lorsque n est impair, et le signe — lorsque ce nombre est pair. On doit supposer x égal à la demi-circonférence i:, après l'intégration indiquée; ce résultat se vérifie lorsqu'on développe, au moyen de l'intégration par parties, le terme

en remarquant que la fonction ^[x) ne contient que des puissances impaires de la variable et en prenant l'intégrale depuis x=^ o jusqu'à

On en conclut immédiatement que ce terme équivaut à

Si l'on substitue cette valeur de - dans l'équation (B), en prenant le

signe -h lorsque le terme de cette équation est de rang impair, et le signe — lorsque n est pair, on aura, en général,

pour le coefficient de ^mnx; on parvient de cette manière à un résultat très remarquable exprimé par l'équation suivante

1 - 9 (vt) == sin.r l ^\ï\x (^(x)dx -\-s\\\ix j s[n2x (^(x)dx

sin3j7 I sinSwC (^{x)dx -\-,,.-\- siiu\r I sinix<^(x)dx 4-...;

le second membre donnera toujours le développement cherché de la fonction (f{x) si l'on effectue les intégrations depuis x=:o jusqu'à

( I ) C'osl ici que Fourier enlre dans la voie qui lui a permis d'oblenir des notions exactes el complètes sur la nature des séries trigonométriques et d'indiquer la solution véritable d'une question célèbre qui avait occupé au xviii* siècle Euler, d'Alembert, D. Bernoulli et {^grange. La détermination des coefficients de la série par des intégrales définies, intégrales qui conservent un sens, même lorsque la fonction est discontinue, est due tout