CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI

On voit par là que les coefficients a, b, c, d, e, f, ... , qui entrent dans l'équation

- <p(jr) zn as'inx -h Z^ sin3^ + csin3.r h- <i sin.i.i' -H...,

et que nous avons trouvés précédemment par la voie des éliminations successives, sont des valeurs intégrales définies exprimées par le terme général

i étant le numéro du terme dont on cherche le coefficient. Cette remarque est importante, en ce qu'elle fait connaître comment les fonctions entièrement arbitraires peuvent aussi être développées en séries de sinus d'arcs multiples. En effet, si la fonction ^[oc) est représentée par l'ordonnée variable d'une courbe quelconque, dont l'abscisse s'étend depuis ^ = o jusqu'à ^ = ir, et si l'on construit sur cette même partie de l'axe la courbe trigonométrique connue dont l'ordonnée est j = sina:r, il sera facile de se représenter la valeur d'un terme intégral. Il fautconcevoir que, pour chaque abscisse a? à laquelle répond une valeur de (p(j?) et une valeur de sina?, on multiplie cette dernière valeur par la première, et qu'au même point de l'axe on élève une ordonnée proportionnelle au produit ç(^)sin^. On formera, par cette opération continuelle, une troisième courbe dont les ordonnées sont celles de la courbe trigonométrique, réduites proportionnellement aux ordonnées de la courbe arbitraire qui représente ^(^r). Cela

entière à Fourier; elle est Torigine des progrès fondamentaux que lui doit cette théorie. A la vérité les propositions auxquelles il s'est trouvé conduit par la formule (D), et qui sont formulées au commencement de Tarlicle suivant, n'ont pas été démontrées par lui d'une manière rigoureuse; mais comme, une fois énoncées, elles étaient susceptibles au moins d'une vériQcation numérique, elles ont été admises, après quelque hésitation, par tous les géomètres, avant d'avoir été établies par Diricblet. La théorie de Fourier a été exposée pour la première fois dans son Mémoire Sur la Théorie de la chaleur, présenté à l'Académie des Sciences le 21 décembre 1807. G, D,

F, tî7

posé, Taire de la courbe réduite, étant prise depuis x = o jusqu'à X =Tz, donnera la valeur exacte du coefficient de sina?; et, quelle que puisse être la courbe donnée qui répond à 9(.r), soit qu'on puisse lui assigner une équation analytique, soit qu'elle ne dépende d'aucune loi régulière, il est évident qu'elle servira toujours à réduire d'une manière quelconque la courbe trigonométrique; en sorte que l'aire de la courbe réduite a, dans tous les cas possibles, une valeur déterminée qui donne celle du coefficient de sin j? dans le développement de la fonc-

tion. 11 en est de même du coefficient suivant b ou f ^{x)s\n2xda:'.

Il faut, en général, pour construire les valeurs des coefficients a, i, r, cl, e, . . ., imaginer que les courbes dont les équations sont

r^=sin.r, j=.sin2j:, ^'=:sin3j?, y^zsïn^jr,

ont été tracées pour un même intervalle sur l'axe des x, depuis x = o jusqu'à cT = 11, et qu'ensuite on a changé ces courbes en multipliant toutes leurs ordonnées par les ordonnées correspondantes d'une même courbe, dont l'équation est y= ^{x). Les équations des courbes réduites sont

j=izcp(^')sinjc, r = 9(^)sin2<r, j = cp(j7) sinSj:*, /=: <p(j:') sin4.r, ....

Les aires de ces dernières courbes, prises depuis ic=o jusqu'à x = t^, seront les valeurs des coefficients a, b, c, d, ... dans l'équation

-9(.r) := asinjc -h bsin2x -h csinSo: -\- ds'm^x -\- , . . ,

On peut aussi vérifier Téquation précédente (D) (art. 219), en déterminant immédiatement les quantités a,, a^^a^, . ..,ay, .. . dans l'équation

<p(^)rzz a, sino: -+- a, sin2.r -h «3 sinSx -h. . .-h fly sinyj? -h. . .;

pour cela on multipliera chacun des membres de la dernière équation par sinixdv, i étant un nombre entier, et l'on prendra l'intégrale

CHAPITRE m. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL 211 depuis x= o jusqu'à a? = 11; on aura

I o(x) s'mix dx^=^ «i / sin.r sine'jr dj?

■+- af I &\n 2 a: s\n ixdx -+-. . .4- «y / sin y\r s\nix dx

Or on peut facilement prouver :

I** Que toutes les intégrales qui entrent dans le second membre ont

une valeur nulle, excepté le seul terme «/ / sinio? sinixûlr;

2** Que la valeur de / s'mixsinia^dx est -• D'où l'on conclura la valeur de «/ qui est

- 1 ^(j7) sin ix djc,

Tout se réduit à considérer la valeur des intégrales qui entrent dans le second membre, et à démontrer les deux propositions précédentes.

L'intégrale

\ I sinyj^sini

X dx^

prise depuis x = o jusqu'à a; = 1:, et dans laquelle i et j sont des nombres entiers, est

L'intégrale devant commencer lorsque a- = o, la constante C est nulle, et, les nombres /ety étant entiers, la valeur de l'intégrale deviendra nulle lorsqu'on fera x = t:; il s'ensuit que chacun des termes tels que

sinj? sinlxdx,

rtj 1 s'xnixfiïnix dXf «3 / sin3x sine.2' dx^

s'évanouit, et que cela aura lieu toutes les fois que les nombres i et y seront différents. Il n'en est pas de même lorsque les nombres i et y

sont égaux; car le terme ^-^.sin(i— y).r auquel se réduit l'intégrale devient -y et sa valeur est -rz. On a, par conséquent,

îi / sin ix si n ix dx = r ;

on obtient ainsi, de la manière la plus briève, les valeurs de a,, a.,,a^, r/j, . . ., «/, . . ., qui sont

rt, = - I (^{x) shïx dxj

at-=^ - / 9 ( JT ) si n x x dx,

rtj = - I (^{x)sin3xdx,

ai ^= - I (^{x) iiiiï ixdx.

En les substituant, on a

- cp(.r) = siUoT / o{x) sinx dx-{- sin2»r / (^{x) s\n2x dx

4- siu3^ I 9(x) ^h\3x dx -+-. . .-f- sin^j? / ^(-r) sïnixdx -+-....

Le cas le plus simple est celui où la fonction donnée a une valeur constante pour toutes les valeurs de la variable a: comprises entre o

et T. ; dans ce cas, l'intégrale / sin ixdx est égale à ? si le nombre i est impair, et égale à o si le nombre i est pair. On en déduit l'équation

- = siiiu' -Y- 71 sinS.r -h - sin5a: h — sinnx H — sinoo; -+-..,

que l'on a trouvée précédemment.