CHAPITRE III. — SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI
Il faut remarquer que, lorsqu'on a développé une fonction çfr) en une suite de sinus d*arcs multiples, la valeur de la série
est la même que celle de la fonction ç(a^) tant que la variable x est comprise entre o et i:; mais cette égalité cesse, en général, d'avoir lieu lorsque la valeur de x surpasse le nombre ir.
Supposons que la fonction dont on demande le développement, soitar; on aura, d'après le théorème précédent,
— = s'injc j xsïiïjcdjc 4- sinaj? 1 jc sin2a:djc
-h sînSx / xsïnSjcdjc-hsiïï^x 1 xsin ^xdjc -f-
L'intégrale / xsmixdx équwAuttk ± -.; les indices o et iz qui sont
joints au signe / font connaître les limites de l'intégrale; le signe +
doit être choisi lorsque i est impair, et le signe — lorsque i est pair. On aura donc l'équation suivante :
- = sinj? sin2 j? -+- - sinSx — y sin4«2^ •+■ - sin5«F — . . ..
On développera aussi en séries de sinus d'arcs multiples les fonctions différentes de celles où il n'entre que des puissances impaires de la variable. Pour apporter un exemple qui ne laisse aucun doute sur la possibilité de ce développement, nous choisirons la fonction coso-, qui ne contient que des puissances paires de x, et qu'on développera sous la forme suivante
rt sina?H- 6sin2^ -h csin3,x- -h ds>ïnl\x -h esm^x -h. . .,
quoiqu'il n'entre dans cette dernière série que des puissances impaires
(le la même variable. On aura, en effet, d'après le lliéorëme précé (lent.
siii2:r / coSvT &[n2.r dx -\- sinSa* / cosj: sinS.r c/j? 4- . . ..
L'intégrale / cos.r sin«.rr/j7 équivaut à zéro lorsque i est un nombre
impair, et à t^—— lorsque i est un nombre pair. En supposant successivement I = 2, 4, 6» 8, . . ., on aura la série toujours convergente
7- coso: ^r — - sin2.r -h ô— ^ sm4«2: 4- -z — sinbj? 4 1.6 0.0 5.7
H sinoj:- H smiox + . . .
ou
( - H — I sinGj: -H ( — I — ) sinS.r -h l — I ) sinioj'--i-. . . I .
0 résultat a cela de remarquable qu'il offre le développement du cosinus en une suite de fpnctions dont chacune ne contient que des
puissances impaires. Si Ton fait dans l'équation précédente a: = y» on
trouvera
TT I /l I I I I I I I \
Cette dernière série est connue [Introd. in analysin infinit, , cap. X).
On peut employer une analyse semblable pour développer une fonction quelconque en série de cosinus d'arcs multiples. Soit 9(^) la
