CHAPITRE 111.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI

fonction dont on demande le développement, on écrira

i 9(.r) = ^oCOSO.r -4- rt. cos.r -h «iC0S9..r

Si Ton multiplie les deux membres de cette équation par cosjx et que l'on intègre chacun des termes du second membre depuis œ := o jusqu'à j? = î:, il est facile de s'assurer que la valeur de cette intégrale sera nulle, excepté pour le seul terme qui contient déjà cosyx. Cette remarque donne immédiatement le coefficient a^; il suffira, en général,

de considérer la valeur de l'intégrale / cosy-r cos£'.rr/r, prise depuis

jr = o jusqu'à x = 'k, en supposant que y et t sont des nombres entiers. On a

cos/x cosijT dx=. - - sin ( / -\- i)x -\ : r- sin ( / — i).v -h C.

Cette intégrale, prise depuis ;r = () jusqu'à x — i:, est évidemment nulle toutes les fois quey ett sont deux nombres différents. Il n'en est pas de même lorsque ces deux nombres sont égaux. Le dernier terme

— — sjn(; i\x devient -i et sa valeur est -> lorsque l'arc r est

égal à Ti, Si donc on multiplie les deux termes de l'équation précédente (m) par cos«;r, et que l'on intègre depuis o jusqu'à i:, on aura

9 ( »r ) cos ix dx ^=. ^—^

équation qui fera connaître la valeur du coefficient a,. Pour trouver le premier coefficient a^, on remarquera que, dans l'intégrale

sin(y-+- i)x 4- —-• r sin(y — i)x.

si l'on a

y =z o et i^=^ o,

chacun des termes devient -i et la valeur de chaque terme est -\

ainsi Tinléj^rale / cosjx cosixdx, prise depuis ^ = o jusqu*à x = iz, est nulle lorsque les deux nombres entiers y et i sont différents; elle est - lorsque les nombres y et i sont égaux, mais différents de zéro ;

elle est égale à u lorsque y et «sont l'un et l'autre égaux à zéro. On obtient ainsi l'équation suivante :

-t-cosa^l ç (.r) cos 2 j:* ^x -h cos 3 j? / ^(j') cosSx^-r -h....

(^e théorème et le précédent conviennent à toutes les fonctions possibles, soit que Ton en puisse exprimer la nature par les moyens connus de l'Analyse, soit qu'elles correspondent à des courbes tracées arbitrairement.

Si la fonction proposée dont on demande le développement en cosinus d'arcs multiples est la variable x elle-même, on écrira l'équation

-— = a^~\- <7i cosj" -h a, cosa.r -f- ajcosox -h. . .-+- «/ cosij: -h. . .,

et Ton aura, pour déterminer un coefficient quelconque «/, l'équation

ai:= j X cos i.rd.r.

Otte intégrale a une valeur nulle lorsque «est un nombre pair, et est égale à — -^ lorsque «est impair. On a en même temps

On formera donc la série suivante :

TT , COSX - C0s3x - 008 5^ , COS'T.r

2 " t: * S'TT " 5'7r ' y^r.