CHAPITRE III. - SOLID* RECTANGULAIRE INFINI. 22o
Si, dans la série
a -h ôcosx -f- c COS2J7 4- dcos^x + e cos4-^ -h. . .,
on rend négative la valeur de x, la série demeure la même, et elle conser>e aussi sa valeur si Ton augmente la variable d'un multiple quelconque de la circonférence 27:. Ainsi dans Téquation
l - (p(j?)z= - / (^{x) dx -H cosj? / ^{x) cosx dx
COSSwT
j (^{x) C0S2X dx -h cos3x I (^{x) cos3xdx -h. . .y
la fonction 9 est périodique et représentée par une courbe composée d'une multitude d'arcs égaux, dont chacun correspond sur Taxe des abscisses à un intervalle égal à 21:. De plus chacun de ces arcs est composé de deux branches symétriques qui répondent aux deux moitiés de l'intervalle égal à 2tc.
Supposons donc que l'on trace une ligne d'une forme quelconque 99a et qui réponde à un intervalle égal à ir [Jig. 9). Si l'on demande une série de la forme
a -^ h cos X -\- c ces 1JC -k- d ces 3 ^ 4- . .
telle que, en mettant au lieu de x une valeur quelconque X comprise
ai
Fîg. 9
2ic
Alt
entre o et ir, on trouve pour la valeur de la série celle de l'ordonnée Xç, il sera facile de résoudre cette question : car les coefficients donnés par l'équation (v) sont
- I o(x)dXf - / <p(.r) cos.r ^x, - j (^(x)cos2x dx, ....
Les diverses intégrales, qui sont prises de ir = o à a* = ir, ayant tou- F. 29
jours des valeurs mesurables comme celle de l'aire O^ar., et la sérié formée par ces coefficients étant toujours convergente, il n'y a aucune forme de la ligne ©ça pour laquelle l'ordonnée Xo ne soit exactement représentée par le développement
a -\- h cos.r -h c cos2;r -h dcosSjr -+- e cos^x 4-. . . .
L'arc 99a est entièrement arbitraire; mais il n'en est pas de même des autres parties de la ligne; elles sont au contraire déterminées : ainsi l'arc 9a qui répond k Tintcrvalle de o à — tt est le même que l'arc oa; et l'arc total aç^a se répète pour les parties consécutives de l'axe dont la longueur est 211.
On peut faire varier dans l'équation (v) les limites des intégrales. Si elles étaient prises depuis ^ = — ir jusqu'à j? = t:, le résultat serait double; il le serait aussi si les limites des intégrales étaient o et 27:,
au lieu d'être o et ir. Nous désignons en général par le signe /
^ ti
l'intégrale qui commence lorsque la variable équivaut à a, et qui est complète lorsque la variable équivaut a 6; et nous écrirons l'équation [n) sous la forme suivante :
-'G,(x):=i- I o(jr)dœ-{-cosxi o(.r)cosxdx (v) /
7/ (p(^) C0S2x^/a7H- cosSjt 1 9 (^) cos 3 .r c/j™ -h . . . .
Au lieu de prendre les intégrales depuis x^=o jusqu'à ^ = 11, on pourrait les prendre depuis a: = o jusqu'à x = 21:, ou depuis ,r = — 7: jusqu'à a: = Ti; mais, dans chacun de ces deux cas, il faut écrire au premier membre 'n:cp(a7) au lieu de -«/(.r).
Dans l'équation qui donne le développement d'une fonction quelconque en sinus d'arcs multiples, la série change de signe et conserve la même valeur absolue lorsque la variable x devient négative;. elle
