CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL

donc

on en conclut

ce que la construction rend d'ailleurs évident.

Ainsi les deux fonctions ^(.r) et "^[oc), dont la somme équivaut ii F(a:), peuvent être développées Tune en cosinus d'arcs multiples et Tautreen sinus.

Si Ton applique à la première fonction Téquation (v), et à la seconde l'équation (fx), en prenant dans l'une et l'autre les intégrales depuis j? = — t: jusqu'à x =^t:, et si l'on ajoute les deux résultats, on aura

T,['^{x) -h ^'(jr)] =: 7rF(ir):= - / ^{x)dx -h COS^ / (^{x)ç.0^xdx 4- C0S2 J? / (p(.r) C0S2cirAr H- . . .

-h sin.r 1 ^{x) ^mxdx -h sinaa? / ^{œ) siwxx d.r -+-...;

les intégrales doivent être prises depuis j? = -— ir jusqu'à ^ = ir. Il

faut remarquer maintenant que dans l'intégrale / c^[x)cosxdœ on

pourrait, sans en changer la valeur, mettre ^{x) -^^[x) au lieu de ^{x) : car la fonction cosj? étant composée, à droite et à gauche de Taxe des x^ de deux parties semblables, et la fonction "^[x) étant au

contraire formée de deux parties opposées, l'intégrale / ^[x) cosxdx

est nulle. Il en serait de même si Ton mettait cos2a7 ou cosSa? et en général cosix au lieu de coso;, i étant un des nombres entiers depuis o

jusqu'à l'infini. Ainsi l'intégrale / (f(x)cosîxdx est la même que l'intégrale

.-f-lt /i-HîS

f [(^{x)-\-'h{x)]cosixdx ou / F{x)cosixdx;

on reconnaîtra aussi que l'intégrale / ']f{x) slnixdx est égale à l'in-

V{x) s'iuixdjc, parce que Tintégralc

*■ — it

est nulle. On obtient par là l'équation suivante, qui sert a développer une fonction quelconque en une suite formée de sinus et de cosinus d'arcs multiples :

i 7:F(.r)=:- I F{jc)djc -h cosjc I ¥{x) cosx dx -{- cos2a: I F(û:^)cos2xdx -h,,. f -+- sin.r / V{jr) sin.r djc h- sina^r / F(j7) sïn2x dx-h...

La fonction F(:r) qui entre dans cette équation est représentée par une ligne F'F'FF, d'une forme quelconque. L'arc F'F'FF, qui répond a l'intervalle de — t: à -h t:, est arbitraire; toutes les autres parties de la ligne sont déterminées, et l'arc FT'FF est répété dans tous les intervalles consécutifs dont la longueur est air. Nous ferons des applications fréquentes de ce théorème et des équations précédentes {m) et (//).

Si l'on suppose dans l'équation [p] que la fonction F(^) est représentée, dans l'intervalle de — t: à -h::, par une ligne composée de deux arcs égaux symétriquement placés, tous les termes qui contiennent les sinus s'évanouiront et l'on trouvera l'équation (m). Si, au contraire, la ligne qui représente la fonction donnée F(\r) est formée de deux arcs égaux de situation opposée, tous les termes qui ne contiennent point les sinus disparaissent et l'on trouve l'équation [n). En assujettissant la fonction F(.r) à d'autres conditions, on trouverait d'autres résultats.

On écrira dans l'équation générale (/?), au lieu de la variable x, la

quantité -^> x désignant une autre variable, et 2r la longueur de l'intervalle dans lequel est placé l'arc qui représente F(^); cette fonc-