TZ.V
r/{jr)z^- I /{,r)dx -\- Qos-^ 1 /(.r) cos -^^^/.r 4- C0S2 -^ I /(.r) cos?. -^ t/.r +...
-F sin — I /(j") sin —^d.v -f- sni 2—;- / /(.r) sint? — ;- ^.z- -+- . . . :
toutes les intégrales doivent être prises, comme la première, de .r = — ra a? = 4- r. Si Ton fait la même substitution dans les équations (v) et ((x), on aura
( N ) - f{jc) ■= I f{x) dx -h cos -^ / f(jc) cos -^ ^iT H- ces 2 -T" / /(j:) cos 2 --^ r/.z- -+-...
et
(M) -/(.r) = sin-^ / /(j:*) sin -^ ^x -h sin2 -'- l /(j?) sina ^ t/.r -f-. . . .
Dans la première équation (P), les intégrales pourraient être prises depuis ^ = 0 jusqu'à x = 2r, et, en représentant par X l'intervalle total 2r, on aura
l— /(.r) = - I /{x)dx-\-cos—^- I /(.rjcos-.^ aj?-hC0S2 "Y- / /(^) cosa -^^ a./' -t-...
. 27r.r r',. . 27:x - . 27:x T' , , . 'iTr.*-- .
-h sin -^— I /(j?) sm -Y-«^-+- sm2 -^— I /(.2')sm2 — ^/.i-f-....
11 résulte de tout ce qui a été démontré dans cette Section concernant le développement des fonctions en séries trigonométriques que, si l'on propose une fonction /(^) dont la valeur est représentée, dans un intervalle déterminé, depuis ^ = o jusqu'à x = X, par l'ordonnée
(ruiie ligne courbe tracée arbitrairement, on pourra toujours développer cette fonction en une série qui ne contiendra que les sinus ou les cosinus, ou les sinus et cosinus des arcs multiples, ou les seuls cosinus des multiples impairs. On emploiera, pour connaître les termes de ces séries, les équations (M), (N), (P).
On ne peut résoudre entièrement les questions fondamentales de la théorie de la chaleur, sans réduire à cette forme les fonctions qui représentent l'état initial des températures.
Ces séries trigonométriqucs, ordonnées selon les cosinus ou les sinus des multiples de l'arc, appartiennent à l'analyse élémentaire comme les séries dont les termes contiennent les puissances successives de la variable. Les coefficients des séries trigonométriqucs sont dos aires définies, et ceux des séries de puissances sont des fonctions données par la difTérentiation, et dans lesquelles on attribue aussi à la variable une valeur définie. Nous aurions à ajouter plusieurs remarques concernant l'usage et les propriétés des séries trigonométriqucs; nous nous bornerons à énoncer brièvement celles qui ont un rapport plus direct avec la théorie dont nous nous occupons.
1° Les séries ordonnées selon les cosinus ou les sinus des arcs multiples sont toujours convergentes, c'est-à-dire qu'en donnant à la variable une valeur quelconque non imaginaire, la somme des termes converge de plus en plus vers une seule limite fixe, qui est la valeur de la fonction développée;
2** Si l'on a l'expression de la fonction /(r) qui répond à une série
donnée
a -\- b ces X -\- c cos ix -\- d cos ^x ~\- e cos 4 ^ -+-... ,
et celle d'une autre fonction o[x)^ dont le développement donné est
a-f- ^cosj: -hy cosa^ -f- 3 cos 3 j: -h t cos!\x -h. . .,
il est facile de trouver en termes réels la somme de la série composée
a a -h i^ i3 -f- cy -h e/ô H- e£ H- . . . ,
