APPLICATION A LA QUEST10?( ACTUELLE

Nous pouvons maintenant résoudre d'une manière générale la question de la propagation de la chaleur dans une lame rectangulaire BAC dont la base A {fig* 7 his) est constamment échauffée, pendant que ses deux arêtes infinies B et C sont retenues à la température o.

Fig. 7 his.

Supposons que la température initiale de tous les points de la table BAC soit nulle, mais que celle de chaque point m de Taréte A soit conservée par une cause extérieure quelconque, et que cette valeur fixe soit une fonction f[x) de la distance du point m à l'extrémité 0 de l'arête A, dont la longueur totale est r; soit v la température constante du point M dont les coordonnées sont j et x\ il s'agit de déterminer K> en fonction de y et x. La valeur

i' =r ae^'^^y sin m ,r

satisfait à l'équation

dx^ dy'^

a ei m sont des quantités quelconques. Si l'on prend m = « -, et que

/ soit un nombre entier, la valeur ae ** sint — deviendra nulle

lorsque x sera égal à zéro ou à r, quelle que soit d'ailleurs la valeur de y. On pourra donc prendre, pour une valeur plus générale de v,

çz=iaie '^ sin h ejj e '^ sin 2 h «a e ' sin 3 h

Si Ton suppose/ nulle, la valeur de v sera, d'après l'hypothèse, égale à la fonction connue f{x). On aura donc

fix) =ra. sîn h^sSina h asSmS h ^FtSinA h

On déterminera les coefficients a,, a,, a,, 04, a^, ... au moyen de l'équation (M) et, en les substituant dans la valeur de Vy on aura

. TZX r'^ ^, . . r.X , ~'T" • ^•'^ C r/ \ ' '^^ J

;ni— ^ I /(j7)sm — ax-^-e '^ sma— ;- I /{x)s\n2 — dx

- rmze '' su

'■ sin3— ;- / /(^)sin3-^e/vC-t-....

En supposant dans l'équation précédente r = ir, on aura la même solution sous une forme plus simple, savoir

[-T:if=ze~ysïnx I /{x)s\nxdx -\-e-'*y sia2x 1 /{x)s\n2xdx

'^sin3j7 I /{x)s\n3xdx -\-. » ,

ou

-7r(^= / /(a)û?a(e"ysinjrsin«-he-->'sin2»r sin2aH-e-'>'sin3j:sin35C -H...);

a est une nouvelle variable qui disparait après l'intégration. Si l'on détermine la somme de cette série et si l'on en fait la substitution dans