CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI
la dernière équation, on aura la valeur de ç' sous une forme finie. Le double de la série équivaut à
e-y[cos{x — a) — cos(a7 -+- «)] 4- e-'y [cos 2 (a: — a) — cos2 (^ h- «)]
-f-e-'J^[cos3(^— a) — cos3(j7-h a)]-i- . ..;
désignant par F(j,/?) la somme de la série infinie
e-y cosp -h e--y cos2/> + e-'J' cos 3/? -h . . . ,
on en conclura
On a
OU
cos/> — «-^
e^ — 2 COS/? -H e-^
donc
Jo [ey—2C0s(a:-^(x)-\'e-y e>'— 2 cos(a: -+- a) 4- e->' J
ou
2C0S(a; — a) -t-e->'] [ey— 2 cos (a: 4- a) -h e-y]
OU, en décomposant le coefficient en deux fractions,
(ey—e-y)
da.
Cette équation contient, sous la forme finie et en termes réels, l'intégrale de l'équation
appliquée à la question du mouvement uniforme de la chaleur dans un solide rectangulaire exposé par sa base à Taclion constante d'un seul foyer.
Il est facile de reconnaître les rapports de cette intégrale avec Tinlégrale générale, qui a deux fonctions arbitraires; ces fonctions se trouvent déterminées par la nature même de la question, et il ne reste d'arbitraire que la fonction/(a), considérée entre les limites a = o et a = t:. L'équation (a) représente, sous une forme simple, propre aux applications numériques, cette même valeur de c réduite en une série convergente.
Si l'on voulait déterminer la quantité de chaleur que le solide contient lorsqu'il est parvenu à son état permanent, on prendrait l'intégrale fdxfvdy depuis x = o jusqu'à x = u et depuis y = o jusqu'à y = 00; le résultat serait proportionnel à la quantité cherchée. En général, il n'y a aucune propriété du mouvement uniforme de la chaleur dans une lame rectangulaire qui ne soit exactement représentée par cette solution. Nous envisagerons maintenant les questions de ce genre sous un autre point de vue, et nous déterminerons le mouvement varié de la chaleur dans les différents corps.
