SOLUTION* GÉNÉRALE DE LA QUESTION

L'équation qui exprime le mouvement de la chaleur dans une armille a été rapportée dans l'article 105; elle est

^^ dt~CDâ.v^ CDS''*

Il s'ajçit maintenant d'intégrer cette équation; on écrira seulement

ai' , d^v .

-r- !=: A* -T— r — nv; ôt dx^ '

la valeur de A représentera ^-rr, celle de A sera p|T^; r désigne la longueur de l'arc compris entre un point m de l'anneau et l'origine o; \^ est la température que l'on observerait en ce point m après un temps donné /. On supposera d'abord r = g-^'//, u étant une nouvelle indéterminée; on en tirera

du , d^n ol ox

or cette dernière équation convient au cas où l'irradiation serait nulle à la surface, puisqu'on la déduirait de la précédente en y faisant A = o; on conclut de là que les différents points de l'anneau se refroidissent successivement, par l'action du milieu, sans que cette circon-

stancc trouble en aucune manière la loi de la distribution de la chaleur. En effet, en intégrant Téquation

du . d^u

on trouverait les valeurs de u qui répondent aux différents points de Tanneau dans un même instant, et l'on connaîtrait quel serait Tétat du solide si la chaleur s'y propageait sans qu'il y eût aucune déperdition à la surface; pour déterminer ensuite quel aurait été l'état du solide au même instant si cette déperdition eût eu lieu, il suffirait de multiplier toutes les valeurs de m, prises pour les divers points et pour un même instant, par une même fraction qui est ^"'*^ Ainsi le refroidissement qui s'opère à la surface ne change point la loi de la distribution de la chaleur; il en résulte seulement que la température de chaque point est moindre qu'elle n'eût été sans cette circonstance; et elle diminue, pour cette cause, proportionnellement aux puissances successives de la fraction e~^'.

La question étant réduite à intégrer l'équation

du . d* u

Tt "^ Â^«'

on cherchera, en premier lieu, les valeurs particulières les plus simples que l'on puisse attribuer a la variable m; on en composera ensuite une valeur générale, et l'on démontrera que cette valeur est aussi étendue que l'intégrale, qui contient une fonction arbitraire en x, ou plutôt qu'elle est cette intégrale elle-même, mise sous la forme qu'exige la question, en sorte qu'il ne peut y avoir aucune solution différente.

On remarquera d'abord que l'équation est satisfaite si l'on donne à M la valeur particulière a^'^sinAiic, /w et n étant assujettis à la condition m= — kn}. On prendra donc pour une valeur particulière

de u la fonction

ae-^^'^sin/ix.