CHAPITRE IV. ~ ARMILLE
Pour que cette valeur de u convienne à la question» il faut qu'elle no change point lorsque la distance x est augmentée de la quantité iTzr, r désignant le rayon moyen de l'anneau. Donc 2mrr doit être un mul-
tiple t de la circonférence su, ce qui donne /i= -• On peut prendre
pour /un nombre entier quelconque; on le supposera toujours positif parce que, s'il était négatif, il suffirait de changer dans la valeur a^"*"''sin/2^ le signe du coefficient a. Cette valeur particulière
ae ' sm —
ne pourrait satisfaire à la question proposée qu'autant qu'elle représenterait l'état initial du solide. Or, en faisant ^ = o, on trouve
uz=^a sin — ;
supposons donc que les valeurs initiales de u soient exprimées en effet
par a sin-> c'est-à-dire que les températures primitives des différents
points soient proportionnelles aux sinus des angles compris entre les rayons qui passent par ces points et celui qui passe par l'origine; le mouvement de la chaleur dans l'intérieur de.l'anneau sera exactement représenté par l'équation
111= ae •- sm
kt
et, si Ton a égard à la déperdition de la chaleur par la surface, on trouvera
V z=zae ^ ' ^ sm — •
Dans le cas dont il s'agit, qui est le plus simple de tous ceux que l'on puisse concevoir, les températures variables conservent leurs rapports primitifs, et celle d*un point quelconque diminue comme les puissances successives d'une fraction, qui est la même pour tous les points.
On remarquera les mêmes propriétés si l'on suppose que les tempé- F. 3i
ratures initiales sont proportionnelles au sinus du double de Tare -;
et cela a lieu, en général, lorsque les températures données sont repré-
sentées par a sin — , i étant un nombre entier quelconque.
On arrivera aux mêmes conséquences en prenant, pour valeur particulière de a, la quantité «^'"^''''cos/i.r; on a aussi 3wiir= li-^ et
n = ~; donc l'équation
uz=ae ' cos —
exprimera le mouvement de la chaleur dans Tintérieur de Tanneau,
si les températures initiales sont représentées paracos— ;-•
Dans tous ces cas, où les températures données sont proportion-
nelles aux sinus ou aux cosinus d'un multiple de l'arc -, les rapports
établis entre ces températures subsistent continuellement pendant la durée infinie du refroidissement. Il en serait de même si les tempéra-
tures initiales étaient représentées par la fonction asin-7 -H 6 cos -7 >
l'étant un nombre entier, a et b des coefficients quelconques.
Venons maintenant au cas général, dans lequel les températures initiales n'ont point les rapports que l'on vient de supposer, mais sont représentées par une fonction quelconque F(^). Donnons à cette fonction la forme 9 (^j» en sorte qu'on aitF(.r) = q f ^ j, et concevons que
la fonction ? (^) est décomposée en une série de sinus ou de cosinus
d'arcs multiples affectés de coefficients convenables. On posera l'équation
(p 1 — 1 =: ^0 sin o— -h ai sin i — h- a, sin 2 — 4- . . .
-+-60COS0 — h 61 cos I — -f-ô.cosa ^ — h
