CHAPITRE IV. - AHMILLË

Les nombres ^0, a,, ^a» •• -î *ot ^i» ^a» • •• sont regardés comme connus et calculés d'avance. Il est visible que la valeur de u sera alors représentée par Téquation

ai sin — /■

kt

a. sin a ~

ô, ces —

&sC0S2 —

En effet :

1° Cette valeur de u satisfera à l'équation

parce qu'elle est la somme de plusieurs valeurs particulières;

2"" Elle ne changera point lorsqu'on augmentera la distance x d'un multiple quelconque de la circonférence de l'anneau;

3^ Elle satisfera à l'état initial, parce que, en faisant / = o, on trouvera l'équation (e).

Donc toutes les conditions de la question seront remplies; et il ne restera plus qu'à multiplier par €~^^ cette valeur de w.

A mesure que le temps / augmente, chacun des termes qui composent la valeur de u devient de plus en plus petit; le système des températures tend donc continuellement à se confondre avec l'état, régulier et constant, dans lequel la différence de la température u à la constante £^ est représentée par

ûf, sin - -f- ^1 cos '- j e '*,

Ainsi les valeurs particulières que nous avons considérées précédemment, et dont nous composons la valeur générale, tirent leur origine de la question elle-même. Chacune d'elles représente un état élémentaire qui peut subsister de lui-même dès qu'on le suppose formé; ces va-

2hk

leurs ont une relation naturelle et nécessaire avec les propriétés physiques de la chaleur (*).

Pour déterminer les coefficients ao,a,,a2f «a» •••? ^o» ^i» ^a» ^«» • • •• on emploiera l'équation (II) (art. 234), qui a été démontrée dans la dernière Section du Chapitre précédent.

L'abscisse totale désignée par X dans cette équation sera 21: r, x sera Tabscisse variable et /(a?) représentera l'état initial de l'anneau; les intégrales seront prises depuis ar = o jusqu'à 07= 2Tur; on aura donc

1 ces - / cos'-/(j:)c^x-+-cos2— / cosa - f{jc) dx -h.

T:rf{x)^l Cf{x)dx-^\

f sm - I sin —/{x) ûfvP -h sin2 — I sm 2 —/(x) dx -+-.

Connaissant ainsi les valeurs de ao, ai, a^, a,, ...; 60, 6|, 62* ^3» •••> on les substituera dans l'équation et Ton aura l'équation suivante, qui contient la solution complète de la question :

\ if'^^''^'^^

in — / ^xw—f^x^dx os— / 0,0%— f{x)dx

kt (sin2 ^ /sin2 jf{x)dx ;os 2 - / cos 2 -/(.r) dx

ÎU/

Toutes les intégrales doivent être prises depuis j? = o jusqu'à ar= 2'îrr.

Le premier terme -^. i f[x)dxy qui sert à former la valeur de v, est

évidemment la température moyenne initiale, c'est-à-dire celle qu'aurait chaque point si toute la chaleur initiale était également répartie

entre tous les points.

On peut appliquer l'équation précédente (E), quelle que soit la forme de la fonction donnée f{x). Nous considérerons deux cas particuliers, savoir : î** celui qui a lieu lorsque, l'anneau ayant été élevé par l'action d'un foyer à des températures permanentes, on supprime

(*) Foir. pour plus de netteté, les développements donnés à cette idée à la fin de l'article 2^. G. D.