CHAPITRE IV. - ARMILLE

tout à coup le foyer; 2° le cas où la moitié de l'anneau, échaufTée éga* lement dans tous ses points, serait réunie subitement à Tautre moitié, qui aurait dans toutes ses parties la température initiale o.

On a vu précédemment (art. 106) que les températures permanentes de Tanneau sont exprimées par l'équation

et la quantité a a pour valeur e *"**; /est le contour de la section génératrice et S la surface de cette section. Si l'on suppose qu'il y ait

un seul foyer, il sera nécessaire que l'on ait l'équation y-^ = o au

point opposé à celui qui est occupé par le foyer. La condition

a or-' — é a* ziz o

sera donc satisfaite en ce point. Regardons, pour plus de facilité dans le calcul, la fraction ^ comme égale à l'unité, et prenons le rayon r de Tanneau pour le rayon des Tables trigonométriques'; on aura

donc l'état initial de l'anneau est représenté par l'équation

11 ne reste plus qu'à appliquer l'équation générale (E) et, en désignant par M (*) la chaleur (^) moyenne initiale, on aura

\2 I*-|-l 2*-hI 3*H-i 4 -+-I /

Cette équation exprime l'état variable d'un anneau solide qui, ayant

( * ) En faisant les calculs supprimés par Fourier, on trouve que la valeur de M esl liée à celle de la constante b par la relation

. (<) Ici et dans quelques autres passages, Fourier emploie le mot chaleur pour indiquer la température. G. D.

été échauffé par un de ses points et élevé à des températures stationnaires, se refroidit dans i'air après la suppression du foyer.

Pour faire une seconde application de l'équation générale (E), nous supposerons que la chaleur initiale est tellement distribuée qu'une moitié de l'anneau, comprise depuis x = o jusqu'à a: = u, a, dans tous ses points, la température i et que l'autre partie a la température o. Il s'agit de déterminer l'état de l'anneau après un temps écoulé /.

La fonction /(a?) qui représente l'état initial est telle, dans ce cas, que sa valeur est i toutes les fois que la variable est comprise entre o et tz. Il en résulte que l'on doit supposer

et ne prendre les intégrales que depuis a; = o jusqu'à 07 = 1:; les autres parties des intégrales sont nulles d'après l'hypothèse. On obtiendra d'abord l'équation suivante qui donne le développement de la fonction proposée, dont la valeur est i depuis a; = o jusqu'à x=ztz, et nulle depuis 07 = ir jusqu'à x =. air,

/(x) = — I — I sinx -+- 7çSin3.r-i- TrsinSx h — sin7.r -1-. .

Si maintenant on substitue dans l'équation générale les valeurs qu'on vient de trouver pour les coefficients constants, on aura l'équation

-;— ^= «~'*M 7 -I- e-*'sinx -h ^e-*"*'sin3a? -f- ^e~***'sin5.r +...),

qui exprime la loi suivant laquelle varie la température à chaque point de l'anneau, et fait connaître son état après un temps donné.

Nous nous bornerons aux deux applications précédentes et nous ajouterons seulement quelques observations sur la solution générale exprimée par l'équation (E).