CHAPITRE IV. — ARMILLE
on trouve ces valeurs en supprimant les puissances supérieures de co.
On a ainsi
^ ni ^ m
la masse qui avait la température initiale ^ a reçu, dans un instant, une quantité de chaleur égale à mrf^ ou (a — P)a), laquelle a été perdue dans le même temps par la première masse. On voit par la que la quantité de chaleur qui passe en un instant du corps plus échauffé dans celui qui Test moins est, toutes choses d'ailleurs égales, proportionnelle à la différence actuelle des températures de ces deux corps. Le temps étant divisé en intervalles égaux, la quantité infiniment petite o) pourra être remplacée par Kdt, K étant le nombre des unités
de masse dont la somme contient co autant de fois que Tunité de temps
Kl
contient di, en sorte que l'on a — = -2;- On obtient ainsi les équations
é/a r:=— (a - 3) ~ ril, ^3 = (a ~ 3) - dt.
Si l'on attribuait une plus grande valeur au volume coqui sert, pour ainsi dire, à puiser la chaleur de l'un des corps pour la porter à l'autre, la transmission serait plus prompte; il faudrait, pour exprimer cette condition, augmenter dans la même raison la valeur de K qui entre dans les équations. On pourrait aussi conserver la valeur de co et supposer que cette tranche accomplit dans un temps donné un plus grand nombre d'oscillations, ce qui serait encore indiqué par une plus grande valeur de K. Ainsi ce coefficient représente en quelque sorte la vitesse de la transmission, ou la facilité avec laquelle la chaleur passe de l'un des corps dans l'autre, c'est-k-dire leur conducibilité
réciproque.
En ajoutant les deux équations précédentes, on a
da -\- d^ =: o,
im TIIÉOIUE DE LA CHALEUR.
(»t, si l'on retranche Tune des équations de l'autre, on a
doc — f/3 -f- 2 (a — (3) — (il ^ o ^ ^ ni
ou, on faisant a — ^ = v,
a>'-h 2 — yat=:o.
Intégrant et déterminant la constante par la condition que la valeur initiale soit a — b, on a
La différence j des températures diminue donc comme l'ordonnée d'une logarithmique, ou comme les puissances successives de la frac-
tion e '". On a pour les valeurs de a et ^
On suppose, dans le cas qui précède, que la masse infiniment petite iù au moyen de laquelle s'opère la transmission est toujours la même partie de l'unité de masse ou, ce qui est la même chose, que le coefficient K qui mesure la conducibilité réciproque est une quantité constante. Pour rendre la recherche dont il s'agit plus générale, il faudrait considérer le coefficient K comme une fonction des deux températures actuelles a et ^. On aurait alors les deux équations
e/a tzz — (a — 3) - ^/, r/3 nz (a — 3) — ^/,
^ ni r \ ^ ^ ni
dans lesquelles K serait égal à la fonction de a et p, que nous désignons par ^(a,p). Il sera facile de connaître la loi que suivent les températures variables a et ^ lorsqu'elles approchent extrêmement de leur dernier état. Soit y une nouvelle indéterminée, égale k la différence entre a et la dernière valeur, qui est ^(^ -f- i) ou c. Soit z une
