CHAPITRE IV. ~ ARMILLE

seconde indéterminée» égale à la différence c — ^. On substituera, au lieu de a et p, leurs valeurs c -— y et c ^ z; et, comme il s'agit de trouver les valeurs de j et de :; lorsqu'on les suppose très petites, on ne doit retenir dans les résultats des substitutions que la première puissance dey et de z. On trouvera donc les deux équations

^dy = — {z—y)j^^(f{c—Y,c^z) dl, — dz = (---7)-9(t*— K,6' — ^)^/.

En développant les quantités qui sont sous le signe 9 et omettant les puissances supérieures de y et de z, on trouvera

dy={z — y)^o(c,c)dt, dz-^—(z^y)-o{c,c)dt.

La quantité ^(c,c) étant constante, il s'ensuit que les équations précédentes donneront, pour la valeur de la différence 5 —y, un résultat semblable k celui que l'on a trouvé plus haut pour la valeur de a — ^.

On en conclut que, si le coefficient K, que l'on avait d'abord supposé constant, était représenté par une fonction quelconque des températures variables, les derniers changements qu'éprouvent ces températures, pendant un temps infini, seraient encore assujettis à la même loi que si la conducibilité réciproque était constante.

Il s'agit actuellement de déterminer les lois de la propagation dr la chaleur dans un nombre indéfini de masses égales qui ont actuellement des températures différentes.

On suppose que des masses prismatiques, en nombre n, et dont chacune est égale à m, sont rangées sur une même ligne droite, et affectées de températures différentes a, b, c, d, ...; que des tranches infiniment petites, qui ont chacune la masse co, se séparent de ces différents corps, excepté du dernier, et se portent en même temps du premier au second, du second au troisième, du troisième au quatrième, F. 33

ainsi de suite; que, aussitôt après le contact, ces mêmes tranches retournent aux masses dont elles s'étaient séparées. Ce double mouvement ayant lieu autant de fois qu'il y a d'instants infiniment petits dt, on demande à quelle loi sont assujettis les changements de température.

Soient a, p, y» S» •••» f» <t les températures variables qui correspondent au même temps t et qui ont succédé aux valeurs initiales a^ b, c, d^ Lorsque les tranches co se seront séparées des

n — i premières masses et mises en contact avec les masses voisines, il est aisé de voir que les températures seront devenues

a ( m — d) ) (3 ( m — &>)-}- a<«) y {ni — o) ) -h (3o) ani-\- pr.»

tn — 0) ni ni m -+- h\

OU, en supprimant dans la dernière les puissances supérieures de co,

a, (3-h(a — (3)~, VH-O — y) — > o -+- (y — (5)-^ , ..., a-H(p — a) — r N ^ ' m * ^ ' m ' ni *^ m

Lorsque les tranches co seront revenues à leurs premières places, on trouvera les valeurs des nouvelles températures en suivant la même règle, qui consiste à diviser la somme des quantités de chaleur par la somme des masses, et l'on aura, pour les valeurs de a, p, y, o, ..., après l'instant dt,

le coefficient de — est la différence de deux différences consécutives

prises dans la suite a, j3, y, . . ., p, a. Quant au premier et au dernier

coefficient de — > ils peuvent être considérés aussi comme des diffé-

rences du second ordre; il suffit de supposer que le terme a est précédé d'un terme égal à a, et que le terme a est suivi d'un terme égal k 0-. On aura donc, en substituant comme précédemment Kt/^ à w, les