CHAPITRE IV. - ARMILLE

vantes :

a, =ûro,

«3 =a,(7-ha) — a„

On voit que ces quantités appartiennent à une série récurrente dont l'échelle de relation a les deux termes (^ 4- 2) et — i . On pourra donc exprimer le terme général a,„ par l'équation

a,n=^ A sinm£^ -h Bsîn(m — i)«,

en déterminant convenablement les quantités A, B et a. On trouvera d'abord A et B en supposant m égal à o et ensuite égal à i , ce qui donne

et, par conséquent,

a„,^=: -r-^ [sinmw — sin(m — i)«].

En substituant ensuite les valeurs de a,;,, a^i-i» ^m-2 ^l^^ns l'équation générale

on trouvera

sinm'/i =zz (y 4- 2)6in(/w' — i)u — sin(m' — •^)//,

/n' désignant /w — ^.

En comparant cette équation a celle-ci :

sinm'w = 2cosi/sin(m'— i)a — sin(m'— .a)«,

qui exprime une propriété connue, on en conclut

<7 4-2 = 2cosw ou 7:=— 2sinV« (');

il ne reste plus qu'à déterminer la valeur de l'arc u.

(1) La notation sinVu, employée ici et dans la suite, indique ]o sinus verse do l'arc u.

La valeur générale de a,„ étant

-.— - fsinwjw — sin(//i — i)m],

on aura, pour satisfaire k la condition rt,,^., = a„, l'équation

sin(/« -H i) w — sin/iM = sin/2// — sin(// — i) w,

d'où l'on tire

sin nu =zOf u^zui-^y

- étant la demi-circonférence et i un nombre entier quelconque, tel que o, i, 2, 3, 4. ..., /î — i. On en peut déduire les n valeurs de q

ou -^; ainsi, toutes les racines de l'équation en A, qui donnent les

valeurs de A, h\ h" ^ A'", ... sont réelles, négatives et fournies par les équations

h =:: — 2 — Sin V 1 O — j

A' =— 2 — siiiV ( I - )> m \ n I

/*(«-»)=:— 2- sinv|(/i-i)-l

Supposons donc qu'on ait divisé la demi-circonférence t: en un nombre n de parties égales, et que l'on prenne pour former l'arc u un nombre entier e de ces parties, / étant moindre que n\ on satisfera aux équations différentielles en choisissant pour a, une quantité quelconque et faisant

sinw — sine// -t~-/^lnv^/

sm a

sin2M — sin I w -t-/»invw ^ sinu

sinSM — sin2« — — /iidy«

sin nu — sm(/i — i)u -8-/»inV/i ^ — Gi ; — ^^ '— e '"

SllïU