CHAPITRE IV. - ARMILLE

Pour résoudre ces éqUÂliôns, on supposera en premier lieu, suivant la méthode connue,

OLi :=. bie^'^.

Les quantités fr|, b^, 6,, ..., b^ sont des constantes indéterminées, ainsi que Texposant A. Il est facile de voir que ces valeurs de a,, a^, a,, ..., a„ satisfont aux équations différentielles, si Ton a les conditions suivantes :

Soit

b,h =r -;(^/-i — 2bi-{-bi^i),

h ni

on aura, en commençant par la dernière équation,

(1) On peut présenter d'une manière moins synthétique le raisonnement par lequel Fourier obtient les différentes solutions de ce système. Substituons à ^ la variable u défînie

11 en résulte que Ton peut prendre pour 6,, 6,, 6,, .... 6/, ..., b^ les n sinus consécutifs que Ton obtient en divisant la circonférence entière 17: en un nombre n de parties égales. En effet, en appelant u

l'arc 2 -> les quantités

sînofi, sin I f<» sinai/, ..., sm(/i — i)//,

qui sont en nombre /i, appartiennent, comme on le sait, à une série récurrente dont l'échelle de relation a deux termes, savoir acosw et — r, en sorte que l'on a toujours la condition

siniw =: a cosi/ sin(i — i)m — sin(/ — a)//.

On prendra donc pour 6,, i^, 6,, .. ., b^, ..., b^ les quantités

sino//, sinii/, sin2<i, ..., sin(/t — i)u^

par la relation

^ -f- 2 = 2C0Sli;

il sera toujours possible de trouver deux constantes A et B, telles que l'on ait

^i = AcosoM -h B sine u = A, hi = A cos I M + B sin I u ;

alors les équations précédentes, employées à partir de la troisième, nous donneront

^3=x\cos2t/ +Bsin2u,

bi = Acos(« — i)« ■+■ Bsin(/ — i)tt,

bn= Acos(/i — \)u H- Bsin(/i — i)«.

Les deux premières équations nous donneraient ensuite

^1 = A cos //M -+- B sin//«,

bi= X cos(/i -h i)« H- Bsin(/i -i- i)u.

En égalant les deux expressions différentes auxquelles on est ainsi conduit pour b^ ci

pour ^s, on trouve

. //M r . . nu nu 1

sm — I A sm — — B cos — = o,

. nu V . . n -^ 7, // -h 2 "1 sm — A sm m — B cos « j = o.

Comme les constantes A et B ue sont pas nulles simultanément, on reconnaîtra aisément