H- 2 = 2 COS II
ou
7 = — 2 sin V «, bi = sin £//.
On a mis précédemment la lettre q au lieu de -r^ > en sorte que la valeur
de A est sin V — ; en substituant dans les équations ces valeurs de
hi et de A, on aura
a, = smow e '" " ,
— î — / »ln \ —
— î — / sin \ —
«3 = sin2M e "* " ,
. ^ ^ —1 — 1 sin > —
a« = sm(/* — i)w e '" ",
((ue ces deux équations ne peuvent ôtre vérifiées que si Ton a
. nu . 1 T
sin — =0, u — i — t
•2 fi
i désignant un nombre entier. A chaque valeur de li correspondent une inûnité de systèmes do valeurs pour ^i, ^s, '* », hn qui sont donnés par les formules
bi = Acoso// -h B sinoi/, ht = A COS 1 « -h B sin I w,
hn= Acos(// — i)u-\-B sm(/t — i)tt,
où A et fi sont deu\ constantes arbitraires. Cest le résultat de Fourier.
Pour ce qui concerne le nombre des systèmes distincts que l'on obtient ainsi, il est aisé de voir que, si n est impair et égal à 2). 4- i, la valeur o do / donne un système de solutions pour bi, bi^ . . ., bn\ les valeurs i, 2, 3, ...,). de i donnent chacune deux systèmes de solutions; quant aux valeurs de 1 supérieures à \ elles doivent être négligées, car on peut toujours, sans altérer une solution, changer i en // •— /. Il y a donc en tout
systèmes distincts, linéairement indépendants, de solutions particulières.
Dans le cas où n est pair, les valeurs o, - de < donnent chacune une solution; les valeurs
I , 'i, . . . , ^ — I en donnent chacune deux : ce qui fait encore n systèmes distincts de solutions. • G. D.
Ces dernières équations ne fournissent qu'une solution très particulière de la question proposée : car, si l'on suppose / = o, on aura pour les valeurs initiales de ai, a,, a,, ..., ol„ les quantités sinou, sini//, sin2w, ..., sin(/i — i)uqu\, en général, diflerent des valeurs données rt,, «2, «3, ..., a,/, mais la solution précédente mérite d'être remarquée parce qu'elle exprime, comme on le verra par la suite, une circonstance qui appartient à tous les cas possibles, et représente les dernières variations des températures. On voit par cette solution que, si les températures initiales a,, «2, a^, . . ., a,, étaient proportionnelles aux sinus
smo — , sini — > sm2 — > •••> sin(n — i) — » n an n
elles demeureraient continuellement proportionnelles à ces mêmes sinus et l'on aurait les équations
/i =: — 2 — sinV
C'est pourquoi, si les masses qui sont placées à distances égales sur la circonférence du cercle avaient des températures initiales proportionnelles aux perpendiculaires abaissées sur le diamètre qui passe par le premier point, les températures varieraient avec le temps en demeurant proportionnelles à ces perpendiculaires et ces températures diminueraient toutes a la fois comme les termes d'une même progrès-
- k , ,. ÎTT — t — tin V — //i n
sion géométrique dont la raison est la fraction e
Pour former la solution générale, on remarquera en premier lieu que l'on pourrait prendre pour i,, 6^, 6,, ..., b^ les n cosinus correspondants aux points de division de la circonférence partagée en un
