CHAPITRE IV.- ARMILLE

Dans ces équations, dont le nombre est n^ les quantités inconnues sont Â,, B/, A2, Bj, A,, B,, ...; il s'agit d'effectuer les éliminations et de trouver les valeurs de ces indéterminées. On remarquera d'abord que la même indéterminée a un multiplicateur diiïércnt dans chaque équation» et que la suite de ces multiplicateurs compose une série récurrente. En effet, cette suite est celle des sinus croissants en progression arithmétique, ou celle des cosinus des mêmes arcs; elle peut être représentée par

sinoi/, sin I /<, sins//, ..., sin(/i — 1)</,

ou par

cosoM, cosM/, cosaw, ..., cos(/j — i)w.

L'arc u est égal à t — si l'indéterminée dont il s'agit est A/^., ou

B/^,. Cela posé, pour déterminer l'inconnue A/^< au moyen des équations précédentes, il faut comparer à la suite des équations la série des multiplicateurs sinoa, sini£/, sinsi/, sin3u, ..., sin(/i — \)u et multiplier chaque équation par le terme correspondant de la série. Si l'on prend la somme des équations ainsi multipliées, on éliminera toutes les inconnues, excepté celle qu'il s'agit de déterminer. H en sera de même si l'on veut trouver la valeur de B/^, ; il faudra multiplier chaque équation par le multiplicateur de B/^, dans cette même équation, et prendre ensuite la somme de toutes les équations. Il s'agit de démontrer qu'en opérant de cette manière on fera disparaître en effet des équations toutes les inconnues, excepté une seule. Pour cela, il suffit de faire voir :

1*" Que, si l'on multiplie terme à terme les deux suites

sinoi/, siniM, sin2//, ..., sin(/i — 1)^/, sinor, sin I r, sinat^, ..., sin(/2~i)r,

la somme des produits

sinow sinoi' -h sin \u$>\niv -\- siuaw sinar -h. . .-f siu(/î — i)m sin(/i — i)r F. 3G

sera nulle, excepté lorsque les arcs a et ç» seront les mêmes, chacun de ces arcs étant d'ailleurs supposé un multiple d'une partie de la circon-

férence égale à — ;

2** Que, si Ton multiplie teriçe à terme les deux séries

COSO//, COSlUj C0S2U, ..., COS{n — l)Uf

cosoi', ces I r, cosar, ...» cos(/i — i)r,

la somme des produits sera nulle, excepté le cas où u est égal à v; 3** Que, si Ton multiplie terme à terme les deux suites

sinoi/, sin I //, sin2<i, ..., sin(/i — i)f#,

COSOr, COSIi», C0S2r, ..., C0S(/l — l)i',

la somme des produits sera toujours nulle.

On désignera par q Tare — » par [lç Tare w, et par vy Tare r, |ji et v

étant des nombres entiers positifs moindres que /i. Le produit de deux tonnes correspondants des deux premières séries sera représenté par

sinyfjL<7sinyv7 ou

- cosy (f* — v)7 — - cosy (fx -h v)y,

la lettre y désignant un terme quelconque de la suite o, i, 2, ..., /,..., 71 — I. Or il est facile de prouver que, si l'on donne à y ses n valeurs successives depuis o jusqu'à w -— 1 , la somme

-coso(/jL — v)7 4- -cosi(|jL — v)g -f- -cos2(|jl — v)^-h. . .h- -cos(/i — i) (fJ^ — v)y 222 2

aura une valeur nulle, et qu'il en sera de même de la suite

-0OSO(/Jl-i- v)<7-h -C0Sl(|JL-+- v)7 4- -C0S2(|JH- v)7 -h. . .-h -C0S(W — I)(/JL -hv)y.