CHAPITRE IV. - ARMILLE

En effet, en représentant par a Tare ((jl — v)<7, qui est un multiple de —^y on aura la suite récurrente

cosoa, cosia, cos2a, ..., cos(/i — i)a,

dont la somme est nulle. Pour le faire voir, on représentera cette somme par S et, les deux termes de Téchelle de relation étant 2 cosa et — r, on multipliera successivement les deux membres de l'équation

S = cosoa ■+■ cosi a -hcosaa-h. . .-4- cos(n — i)a

par I, — 2 cosa et par +1; puis, ajoutant les trois équations, on connaîtra que les termes intermédiaires se détruisent d'eux-mêmes d'après la nature de la série récurrente. Si l'on remarque maintenant que, noL étant un multiple de la circonférence entière, les quantités

cos(n — i)a, cos(/i — 2) a, cos{n — 3) a,

sont respectivement les mêmes que celles que l'on désignerait par

cos(— a), cos(— 2 a), cos( — 3 a), ...,

on en conclura

2 S — aScosarro;

ainsi la somme cherchée S doit en général être nulle (^).

On trouvera de même que la somme des termes dus au développement de -cosy([ji-4-v)y est nulle. Il faut excepter le cas où l'arc représente par a serait nul ; on aurait alors

I — cosa=:o;

c'est-à-dire que les arcs u et v seraient les mêmes. Dans ce cas, le terme -cosy([A -f- v)y donne encore un développement dont la somme

( I ) De ridentité

COS/a — 2C0SaC08(< — I)«-H C08(i — 2)a = o,

applicable à toutes les valeurs de i, on déduit généralement

^ [COSf'a — 2C08aC0S(/ — l)a-HC08(/ — 2)a] = o

!28i THÉORIE DE LÀ CHALEUR.

est nulle; mais la quantité - cosj{[i. — v)q fournit des termes égaux dont chacun a pour valeur -; donc la somme des produits terme à terme

des deux premières séries est -n.

On trouvera de la même manière la valeur de la somme des produits

terme à terme des deux secondes séries, ou Scosy'fxy cosyvy; en effet,

on substituera à

cosy'jUL^cosy v<7

la quantité

^cosy(fx — v)^-+- icosy(fx-+-v)(7

et Ton en conclura, comme dans le cas précédent, que

i;^cosy(fx-+-v)y

est toujours nulle, et que

2icosy(fx — v)^

est nulle, excepté le cas où (i. = v. Il suit de là que la somme des produits terme à terme des deux secondes séries, ou

2 COSJlxq COSj'vq,

est toujours nulle lorsque les arcs u et v sont différents, et égale a

(a) ^cosia — 2C08aN cos(« — i)a -+-^co8(/— Jt)* = o-

Dans le cas traité par Fourier, //a est un multiple de tltz et Ton a, par conséquent.

% cos/a — ^C08(/— i)a = c08(/i — i)a — cos(— a) = o,

^ C08(/— i)a — % cos(f — •2)a = cos(/i — 2)a — cos(— 2a) = o.

Les trois sommes qui figurent dans Téquation (a) sont donc égales et, en les rempiaçanl par leur valeur commune S, on trouve bien

2S(i — co8a)= o. G. D.