CHAPITRE IV. ARMILLE

-n lorsque u = ç. Il ne faut plus que distinguer les cas où les arcs [iq et v^ -sont tous les deux nuls; alors on a zéro pour la valeur de

2siny>7sinyv<7,

qui désigne la somme des deux produits terme à terme des deux premières séries. Il n'en est pas de même de la somme

icosy'jUL^ cosyv^, .

prise dans le cas où [lç et v^ sont nuls; cette somme des produits terme à terme des deux secondes séries est évidemment égale a n. Quant à la somme

2cosy>7 sinyv<7,

elle est nulle dans tous les cas, ce qu'il est facile de reconnaître par l'analyse précédente.

La comparaison de ces séries fournit donc les conséquences suivantes. Si l'on partage la circonférence 211 en un nombre n de parties égales, que l'on prenne un arc u composé d'un nombre entier a de c«»s parties, et que l'on marque les extrémités des arcs a, 2 m, 3w, 4"» • • •» (/i — i)w, il résulte des propriétés connues des quantités trigonométriques que les quantités

sino//, sini//, sinciw, ..., sin(/i — i)m, ou celles-ci

'COSOM, COSIM, C0S2</, ..., C0S(/l — l) U

forment une série récurrente périodique, composée de n termes; si l'on compare une de ces deux séries, correspondante à un arc u ou tx — ' >

à une série correspondante à un autre arc (^ ou v — et qu'on multiplie

terme à terme les deux séries comparées, la somme des produits sera nulle lorsque les arcs u et v seront différents. Si les arcs u et r sont

égaux, la somme des produits est égale à -/i lorsque Ton compare deux

séries de sinus, ou lorsque Ton compare deux séries de cosinus;- mais cette somme est nulle, si Ton compare une série de sinus à une série de cosinus. Si Ton suppose nuls les arcs u et r, il est manifeste que la somme des produits terme à terme est nulle toutes les fois que Tune des deux séries est formée de sinus et lorsqu'elles le sont toutes les deux; mais la somme des produits est n si les deux séries composées sont formées de cosinus. En général, la somme des produits terme à

terme est égale à o, ou - /i, ou /i ; au reste, les formules connues condui-

raient directement aux mêmes résultats. On les présente ici comme des conséquences évidentes des théorèmes élémentaires de la Trigonométrie.

Il est aisé d'effectuer au moyen de ces remarques l'élimination des inconnues dans les équations précédentes. L'indéterminée A| disparaît d'elle-même comme ayant des coefficients nuls; pour trouver B,, on multipliera les deux membres de chaque équation par le coefficient de B| dans cette même équation et l'on ajoutera toutes les équations ainsi multipliées; on trouvera

«1 -Hat + a» -h. . .H- «„ = /*B,.

Pour déterminer A,, on multipliera les deux membres de chaque équation par le coefficient de A, dans cette équation et, en désignant

l'arc — par y, on aura, après avoir ajouté les équations,

a, sino^4- a, sini^H- a, sina^ -h. . .4- ûr»sin(« — i)q — -nK%.

On aura pareillement, pour déterminer B^,

aicoso^-i- a^cosi^ -h^scosa^ -+-...-+- ûT;, cos(/i — i)çr =: -/iB,.

En général, on trouvera chaque indéterminée en multipliant les deux membres de chaque équation par le coefficient de l'indéterminée