CHAPITRE IV. - ARMILLE

l'intégrale et la somme doivent être prises. Ce théorème a lieu généralement, quelle que soit la forme de la fonction /(^) dans l'intervalle de .r = o à a? = 2Tz; il est le même que celui qui est exprimé par les équations, qui donnent le développement de ¥{x){p. 233), et nous verrons dans la suite que l'on peut démontrer immédiatement la vérité de l'équation (B), indépendamment des considérations précédentes.

11 est facile de reconnaître que la question n'admet aucune solution différente de celle que donne l'équation (E) (p. 295). En effet, la fonction (f{x,t) satisfait entièrement à la question et, d'après la nature de l'équation différentielle

aucune autre fonction ne peut jouir de cette même propriété. Pour s'en convaincre, il faut considérer que, le premier état du solide étant

représenté par une équation donnée r, =:/(^), la fluxion ^-~ est con-

nue, puisqu'elle équivaut h k ^ \ - Ainsi, en désignant par i\,, ou

(^, -h -j^dt, la température au commencement du second instant, on

déduira la valeur de Ca de l'état initial et de l'équation différentielle. On connaîtra donc de la même manière les valeurs ^3, ^,, ç'j, •. ., ç^„ de la température d'un point quelconque du solide au commencement de chaque instant. Or la fonction ^{x,i) satisfait à l'état initial, puisque l'on a

De plus elle satisfait aussi à l'équation différentielle; par conséquent, étant différentiée, elle donnerait pour ^, ^> -r^, ••• les mêmes valeurs que celles qui résulteraient de l'application successive de cette équation différentielle (a). Donc si, dans la fonction ç (a?,/), on donne

successivement a / les valeurs o, co, aco, 3û), 4^f ...f <«> désignant l'élément du temps, on trouvera les mêmes valeurs ^^,,^2, (?,, ^^4, •..que l'on aurait déduites de l'état initial et de l'application continuelle de l'équation (a). Donc toute fonction 'j'(j?, l) qui satisfait à l'équation différentielle et à l'état initial se confond nécessairement avec la fonction ç (a?, t); car ces fonctions donneront l'une et l'autre une même fonction de X, si l'on y suppose successivement / = o, (o, ato, 3a), . . ., lo), .... On voit par là qu'il ne peut y avoir qu'une seule solution de la question et que, si l'on découvre d'une manière quelconque une fonction K<r, /) qui satisfasse à l'équation différentielle et à l'état initial, on est assuré qu'elle est la même que la précédente donnée par l'équation (E).

Cette même remarque s'applique à toutes les recherches qui ont pour objet le mouvement varié de la chaleur; elle suit évidemment de la forme même de l'équation générale.

C'est par la même raison que l'intégrale de l'équation (a) ne peut contenir qu'une seule fonction arbitraire en x. En effet, lorsqu'une valeur de (^ est donnée en fonction de x pour une certaine valeur du temps /, il est évident que toutes les autres valeurs de s^ qui correspondent à un temps quelconque sont déterminées. On peut donc choisir arbitrairement la fonction de x qui correspond à un certain état, et la fonction de deux variables a: et t se trouve alors déterminée. Il n'en est pas de même de l'équation

que nous avons employée dans le Chapitre précédent et qui convient au mouvement constant de la chaleur; son intégrale contient deux fonctions arbitraires en x et y; mais on peut ramener cette recherche à celle du mouvement varié, en considérant l'état final et permanent comme dérivé de ceux qui le précèdent, et, par conséquent, de l'état initial qui est donné.