CHAPITRE IV. - ARMILLE

L'intégrale que nous avons donnée

contient une fonction arbitraire f{oc), et elle a la même étendue que rintégrale générale, qui ne contient aussi qu'une fonction arbitraire en j?; ou plutôt elle est cette intégrale elle-même, mise sous la forme qui convient à la question. En efîet, l'équation

représentant l'état initial, et l'équation

représentant l'état variable qui lui succède, on voit que, d'après la forme même du solide échauffé, la valeur de v ne doit point changer lorsqu'on écrit, au lieu de ic, a: db 2171, e étant un nombre entier positif quelconque. La fonction

— / /(a)2e-'**'cos/(a — •2?)c/a

remplit cette condition; elle représente aussi l'état initial, lorsqu'on suppose / = o; car on a alors

/(j7)= — I /(a)2cosi(a — j?) t/a,

équation qui a été démontrée précédemment (p. 234 et 298) et qu'il est d'ailleurs facile de vérifier. Enfin la même fonction satisfait à l'équation différentielle

57 ■" àx'^

Quelle que soit la valeur du temps /, la température 9 est donnée par une série très convergente, et les différents termes représentent tous les mouvements partiels qui se composent pour former le mouvement total. A mesure que le temps augmente, les états partiels de l'ordre le plus élevé s'effacent rapidement et ne conservent aucune influence

apprêciaijle; en sorte que le nombre des valeurs que Ton doit donner à l'exposant i diminue de plus en plus. Apres un certain temps, le système des températures est représenté sensiblement par les termes que l'on trouve en donnant à i les valeurs o, ±: i et it 2, ou seulement o et d= I , ou enfin par Le premier de ces termes, qui est

il y a donc une relation manifeste entre la forme de la solution et la marche du phénomène physique que Ton a soumis à Tanalyse.

Pour parvenir à cette solution, on a considéré d'abord les valeurs simples de la fonction c qui satisfont à l'équation différentielle; on a formé ensuite une valeur qui convient avec l'état initial et qui a, par conséquent, toute la généralité que la question comporte. On pourrait suivre une marche différente et déduire la même solution d'une autre expression de l'intégrale; car, cette solution étant une fois connue, on en transforme aisément les résultats. Si l'on suppose que le diamètre de la section moyenne de l'anneau devient de plus en plus grand à l'infini, la fonction 9(^7,/) reçoit, comme on le verra par la suite, une forme différente et se confond avec l'intégrale qui contient une seule fonction arbitraire sous le signe d'intégrale définie. On pourrait aussi appliquer cette dernière intégrale à la question actuelle; mais, si l'on se bornait à cette application, on n'aurait qu'une connaissance très imparfaite du phénomène : car les valeurs des températures ne seraient pas exprimées par des séries convergentes et l'on ne distinguerait point les étals qui se succèdent à mesure que le temps augmente. Il faudrait donc attribuer à la fonction qui représente l'état initial la forme périodique que la question suppose; mais, en modifiant ainsi cette intégrale, on n'aurait point d'autre résultat que celui-ci s

On passe aisément de cette dernière équation à l'intégrale dont il s'agit, comme nous l'avons prouvé dans le Mémoire qui a précédé cet Ouvrage. Il n'est pas moins facile d'obtenir l'équation en partant de l'intégrale elle-même. Ces transformations rendent de plus en" plus manifeste l'accord des résultats du calcul; mais elles n'ajoutent rien à la théorie et ne constituent nullement une analyse différente.

On examinera dans un des Chapitres suivants les différentes formes que peut recevoir l'intégrale de l'équation (a), les rapports qu'elles ont entre elles et les cas où elles doivent être employées.

Pour former celle qui exprime le mouvement de la chaleur dans une armille, il était nécessaire de résoudre une fonction arbitraire en une série de sinus et cosinus d'arcs multiples; les nombres qui affectent la variable sous les signes sinus et cosinus sont les nombres naturels i,

2, 3, 4» Dans la question suivante, on réduit encore la fonction

arbitraire en une série de sinus; mais les coefficients de la variable sous le signe sinus ne sont plus les nombres i, 2, 3, 4» • ••; ces coefficients satisfont à une équation déterminée, dont toutes les racines sont irrationnelles et en nombre infini.