CHAPITRE V. — SPHËRE SOLIDE
V = •-. On cherchera en premier lieu quelles sont les valeurs les plus
simples que l'on puisse attribuer k j, ensuite on en formera une valeur générale qui satisfera en même temps à Téquation différentielle, à Téquation à la surface et à l'état initial. Il sera facile de reconnaître que, lorsque ces trois conditions sont remplies, la solution est complète et que Ton ne pourrait en trouver aucune autre.
Soit y = e""tt, u étant une fonction de a?, on aura
mu z=z k-r-z*
On voit d'abord que, la valeur de / devenant infinie, celle de ^ doit être nulle dans tous les points, puisque le corps est entièrement refroidi. On ne peut donc prendre pour m qu'une quantité négative. Or ^ a une valeur numérique positive; on en conclut que la valeur de u dépend des arcs de cercle, ce qui résulte de la nature connue de
l'équation mu = k-^-^» Soit
;/ = A cos/io: -h B sin/i^; on aura cette condition
Ainsi l'on peut exprimer une valeur particulière de v par l'équation
ç=: (A cos/i^r-h B sin/ix);
n est un nombre positif quelconque, et A et B sont des constantes. On remarquera d'abord que la constante A doit être nulle; car, lorsqu'on fait a? = o, la valeur de ^, qui exprime la température du centre, ne peut pas être infinie; donc le terme Acosnx doit être omis.
De plus, le nombre n ne peut pas être pris arbitrairement. En effet, F, 39
si, dans l'équation déterminée
on substitue la valeur de ^, on trouvera
«.r COS/IX-+- (hjc — i) sinrta:i=: o.
Comme Téquation doit avoir lieu à la surface, on y supposera x = X, rayon de la sphère, ce qui donnera
nX
langnX
Soit X le nombre i — AX et posons nX = e, on aura
tang£
Il faut donc trouver un arc e qui, divisé par sa tangente, donne un quo tient connu X, et Ton prendra
Il est visible qu'il y a une infinité de tels arcs, qui ont avec leur tangente un rapport donné; en sorte que l'équation de condition
= 1 —nX
tangnX a une infinité de racines réelles.
Les constructions sont très propres à faire connaître la nature de cette équation. Soit {fig. 12)
w — (ange
l'équation d'une ligne dont l'arc e est l'abscisse et u Tordonnée, et soit
