CHAPITRE V.- SPHÈRE SOLIDE

l'équation d'une droite dont e et 1/ désignent aussi les coordonnées. Si on élimine u entre ces deux équations» on a la proposée y = tange. L'inconnue £ est donc l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite. Cette ligne courbe est composée d'une infinité d'arcs; toutes

les ordonnées correspondantes aux abscisses -> — > — > Z, ... sont infinies, et toutes celles qui répondent aux points 0, ic, 2tc, Si:, I^t., ... sont nulles. Pour tracer la droite dont l'équation est w = ^ = .^> on forme le carré Oicoi et, portant la quantité hX de co en A, on joint

Fie. la.

le point h avec l'origine 0. La courbe dont l'équation est u = tangs a pour tangente à l'origine une ligne qui divise l'angle droit en deux parties égales, parce que la dernière raison de l'arc à sa tangente est I . On conclut de là que, si X, ou i — AX, est une quantité moindre que l'unité, la droite mOm passe à l'origine au-dessus de \^ courbe nOn et qu'il y îi un point d'intersection de celte droite avec la première brancbe. Il est également évident que la même droite coupe toutes les

branches ultérieures /lu/i, ni-îzriy .... Donc l'équation

tange

= X a un

nombre infini de racines réelles. La première est comprise entre o et -> la deuxième entre ir et — ? la troisième entre un et — > et ainsi

,de suite. Ces racines approchent extrêmement de leurs limites supérieures lorsque leur rang est très avancé.

Si l'on veut calculer la valeur d'une de ces racines, par exemple de la première, on peut employer la règle suivante : on écrira les deux

équations £ = arc tang^^ eiu= ^-y arc tangi/ désignant la longueur de

Tare dont la tangente est u. Ensuite, prenant un nombre quelconque pour {/, on en conclura, au moyen de la première équation, la valeur de £; on substituera cette valeur dans la seconde équation, et l'on en déduira une autre valeur de u; on substituera cette seconde valeur de u dans la première équation; on en. déduira la valeur de e, qui, au moyen de la seconde équation, fera connaître une troisième valeur de a. En la substituant dansla première équation, on aura une nouvelle valeur de £. On continuera ainsi de déterminer u par la seconde équation, et £ par la première. Cette opération donnera des valeurs de plus en plus approchées de l'inconnue £; la construction suivante rend cette convergence manifeste.

En effet, si le point u correspond {/ig. i3) à la valeur arbitraire que

Fig. i3.

Ton attribue k l'ordonnée w, et si l'on substitue cette valeur dans la première équation £ = arc tangM, le point £ correspondra a Tabscisse que l'on aura calculée au moyen de cette équation. Si l'on substitue

cette abscisse £ dans la seconde équation u= ^9 on trouvera une ordon-^

née u' qui correspond au point u\ Substituant u' dans la première