CHAPITRE V. - SPHÈRE SOLIDE
équation, on trouvera une abscisse e' qui répond au point £'; ensuite cette abscisse, étant substituée dans la seconde équation» fera connaître une ordonnée iC qui, étant substituée dans la première, fera connaître une troisième abscisse e"", ainsi de suite à l'infini. C'est-à-dire que, pour représenter l'emploi continuel et alternatif des deux équations précédentes, il faut, par le point i/, mener l'horizontale jusqu'à la courbe, par le point d'intersection e mener la verticale jusqu'à la droite, par le point d'intersection u! mener l'horizontale jusqu'à la courbe, par le point d'intersection %! mener la verticale jusqu'à la droite, ainsi de suite à l'infini, en s'abaissant de plus en plus vers le point cherché.
V^fig. i3 qui précède représente le cas où l'ordonnée prise arbitrairement pour u est plus grande que celle qui répond au point d'intersection. Si l'on choisit au contraire, pour la valeur initiale de w, une quantité plus petite et que l'on emploie de la même manière les deux équations
5 = arclangw,
fi
on parviendrait encore à des valeurs de plus en plus approchées de
Fig. l'i.
l'inconnue. \Sifig. i[\ fait connaître que, dans ce cas, on s'élève continuellement vers le point d'intersection en passant par les points w, £,
iCy t\ u!\ i\ ... qui terminent des droites horizontales et verticales. On obtient, en partant d*une valeur de u trop petite, des quantités e, £', e", e'", Ê*\ ... qui convergent vers l'inconnue et sont plus petites qu'elle; et Ton obtient, en partant d'une valeur de u trop grande, des quantités qui convergent aussi vers l'inconnue, et dont chacune est plus grande qu'elle. On connaît donc des limites de plus en plus resserrées, entre lesquelles la grandeur cherchée sera toujours comprise. L'une et l'autre approximation sont représentées par la formule
£ = . . . arc tang j y arc tang y arc tang ( =- arc tang y ) | •
Lorsqu'on aura effectué quelques-unes des opérations indiquées, les résultats successifs différeront moins, et l'on sera parvenu à une valeur approchée de e.
On pourrait se proposer d'appliquer les deux équations
6 = arc tang w, "^î dans un ordre différent, en leur donnant cette forme
a=:tange, gmX//.
On prendrait pour t une valeur arbitraire et, en la substituant dans la première équation, on trouverait la valeur de u qui, étant substituée dans la seconde équation, donnerait une seconde valeur de e; on emploierait ensuite cette nouvelle valeur de c de la même manière qu'on a employé la première. Mais il est facile de reconnaître, par les constructions, qu'en suivant le cours de ces opérations, on s'éloigne de plus en plus du point d'intersection, au lieu de s'en approcher comme dans Je cas précédent. Les valeurs successives de e que l'on obtiendrait diminueraient continuellement jusqu'à zéro, ou augmenteraient sans limite. On passerait successivement de e" en m", de m" en e', de e' en m', de {£ en e, ainsi de suite à l'infini.
