CHAPITRE V. - SPHÈRE SOLIDE

La règle que Ton vient d'exposer pouvant s'appliquer au calcul de

chacune des racines de Téquation

lange

qui ont d'ailleurs des limites données, on doit regarder toutes ces racines comme des nombres connus. Au reste, il était seulement nécessaire de se convaincre que l'équation a une infinité de racines réelles. On a rapporté ici ce procédé d'approximation, parce qu'il est fondé sur une construction remarquable qu'on peut employer utilement dans plusieurs cas, et qu'il fait connaître sur-le-champ la nature et les limites des racines; mais l'application qu'on ferait de ce procédé k l'équation dont il s'agit serait beaucoup trop lente; il serait facile do recourir dans la pratique à une autre méthode d'approximation.

On connaît maintenant une forme particulière que l'on peut donner à la fonction i^, et qui satisfait à deux conditions de la question. Cette solution est représentée par l'équation

^x.«tiSin/ijr nx

Le coefficient a est un nombre quelconque et le nombre n est tel que l'on a

tang/iX

Il en résulte que, si les températures initiales des différentes couches

étaient proportionnelles au quotient > elles diminueraient toutes

à la fois en conservant entre elles, pendant toute la durée du refroidissement, les rapports qui avaient été établis; et la température de chaque point s'abaisserait comme l'ordonnée d'une logarithmique dont l'abscisse désignerait le temps écoulé. Supposons donc que, l'arc e étant divisé en parties égales et pris pour abscisse, on élève en chaque

point de division une ordonnée égale au rapport du sinus à Tare. Le système de toutes ces ordonnées sera celui des températures initiales qu'il faut attribuer aux différentes couches, depuis le centre jusqu'à la surface, le rayon total X étant divisé en parties égales. L'arc e dont la longueur représenterait dans cette construction le rayon X ne doit pas être pris arbitrairement; il est nécessaire que cet arc ait avec sa tangente un rapport donné. Comme il y a une infinité d'arcs qui satisfont à cette condition, on formerait ainsi une infinité de systèmes des températures initiales, qui peuvent subsister d'eux-mêmes dans la sphère sans que les rapports des températures changent pendant la durée du

refroidissement.

Il ne reste plus qu'à former un état initial quelconque, au moyen d'un certain nombre ou d'une infinité d'états partiels, dont chacun représente un de ces systèmes de températures que nous avons considérés précédemment, et dans lesquels l'ordonnée varie avec la distance X, proportionnellement au quotient du sinus par l'arc. Le mouvement général de la chaleur dans l'intérieur de la sphère sera alors décomposé en autant de mouvements particuliers, dont chacun s'accomplira librement comme s'il était seul.

Désignons par n^, /i,» n^^ ... les quantités qui satisfont à l'équation

= 1 — /iX,

lang/tX

et que Ton suppose rangées par ordre, en commençant par la plus petite; on formera l'équation générale

Si Ton fait / = o, on aura, pour exprimer l'état initial des températures,

xv=^ay sin/ii^r -+• a^^mn^x -\- a^^iuriix -^ a^sin/i^ar-j-. . . .

La question consiste à déterminer, quel que soit l'état initial, les coefficients a,, ûfjj, flj, ûf^, .... Supposons donc que l'on connaisse les