OU

mcosmXsin/iX — /isinmXcoswX = 0.

On voit par là que la valeur totale de l'intégrale est nulle; mais il y a un seul cas où cette intégrale ne s'évanouit pas : c'est lorsque m = n.

Elle devient alors - et, par l'application des règles connues, elle se réduit k

-X — 7— sina/iX.

(^) Fourier va déterminer les coefficients ai, ot, . . ., mais en admellanl que le développement est possible, quelle que soit la fonction arbitraire F(x) qui définit l'état initial; or c'est là un point qui n'est nullement démontré. Poisson, qui a signalé ce défaut de la solution de Fourier, a proposé, dans sa Théorie de la c/ialeur, une méthode d'exposition différente, mais qui ne fait que reporter sur un autre point exactement la même difficulté. G. D.

Il résulte de là que, pour avoir la valeur du coefficient Ut dans l'équation (e), il faut écrire

2 I X F (x) s'in riiX dv := ai (\ sin2/i,X j,

le signe / indiquant que l'on prend l'intégrale depuis x = o jusqu'à ,r = X. On aura pareillement

2 I X F {x) siti niûc dx = «j f X sina/ijX ) .

On déterminera de même tous les coefficients suivants. Il est aisé de voir que l'intégrale définie

a / X F (x) sin n X dx

a toujours une valeur déterminée, quelle que puisse être la fonction arbitraire ¥{x). Si cette fonction F(a7) est représentée par l'ordonnée variable d'une ligne qu'on aurait tracée d'une manière quelconque, la fonction cc¥{cc)sinnx correspondra aussi à l'ordonnée d'une seconde ligne que l'on construirait facilement au moyen de la première. L'aire terminée par cette dernière ligne entre les abscisses a? = o, a;= X fera connaître le coefficient a^, i étant l'indice du rang de la racine n.

La fonction arbitraire ¥{x) entre dans chaque coefficient sous le signe de l'intégration et donne à la valeur de ^ toute la généralité que la question exige; on parvient ainsi à l'équation suivante :

inriiX j xF{x)sin riixdx sinn^x 1 x F {x)sin n^xdx

'il I

X sin2/j,X X — — sin2A2jX

2ni 2/ij

Telle est la formé que l'on doit donner à l'intégrale générale de l'équation

àv .d^i' 2 dt>

dt dx^ X dx

pour qu'elle représente le mouvement de la chaleur dans la sphère solide. En effet, toutes les conditions de la question seront remplies :