CHAPITRE V. - SPHÈRE SOLIDE

I** L*équation aux différences partielles sera satisfaite.

2*^ La quantité de chaleur qui s'écoule à la surface conviendra à la fois à l'action mutuelle des dernières couches et à l'action de l'air sur la surface, c'est-à-dire que l'équation

-r — h nvzzi o,

k laquelle chacune des parties de la valeur de (^satisfait lorsque^ = X,

aura lieu aussi lorsqu'on prendra pour ^ la somme de toutes ces

parties.

3** La solution donnée conviendra à l'état initial lorsqu'on supposera

le temps nul.

Les racines n,, n,, n^, rij^, ... de l'équation

/iX ^.

lang/iX

sont très inégales; d'où l'on conclut que, si la valeur du temps écoulé t est considérable, chaque terme de la valeur de ç^ est extrêmement petit par rapport à celui qui le précède. A mesure que le temps du refroidissement augmente, les dernières parties de la valeur de ^ cessent d'avoir aucune influence sensible; et ces états partiels et élémentaires qui composent d'abord le mouvement général, et qui sont superposés de telle manière qu'ils puissent comprendre l'état initial, disparaissent presque entièrement, excepté un seul. Dans ce dernier état, les températures des différentes couches décroissent depuis le centre jusqu'à la surface, de même que, dans le cercle, les rapports du sinus à l'arc décroissent à mesure que cet arc augmente. Cette loi règle naturellement la distribution de la chaleur dans une sphère solide. Lorsqu'elle commence à subsister, elle se conserve pendant toute la durée du refroidissement. Quelle que soit la fonction F(^) qui représente l'état initial, la loi dont il s'agit tend de plus en plus à s'établir; et, lorsque le refroidissement a duré quelque temps, on peut supposer qu'elle existe sans erreur sensible.

Nous appliquerons la solution générale au cas où la sphère, ayant été longtemps plongée dans un liquide, a acquis dans tous ses points une même température. Dans ce cas, la fonction F{x) est i, et la détermination des coefficients se réduit à intégrer œ s'innx dx, depuis ^ = o ,. v- é.A ' A ' \ i. sin/iX — /iXcos/iX ^k i ■»

jusqu a x = \; cette intégrale est , — • Donc la valeur

d'un coefficient quelconque est exprimée ainsi

2 sin/tX — n\cosn\

n n\ — sin/iXcosrtX^

le rang du coefficient est déterminé par celui de la racine n; l'équation qui donne ces valeurs de n est

n X cos n\ , --

sinnX

on trouvera donc

n /iXcoséc/iX — cos/iX

Il est aisé maintenant de former la valeur générale; elle est donnée par Téquation

VJC

e-*"Nsin/iia: «*■*«*' si n/ijj?

2X/1 /ii(/iiXcosécn,X — cos /Il X) /is(/2s%coséc/isX — cos/ijX) En désignant par £«, £3, e,, e^, ... les racines de l'équation

lange

et les supposant rangées par ordre en commençant par la plus petite, remplaçant n,X, w^X, /I3X, ... par ei, ej, £,, ..., et mettant au lieu de

A et A leurs valeurs rn ^'^ k ' ^^ aura, pour exprimer les variations des

températures pendant le refroidissement d'une sphère solide qui avait été uniformément échauffée, l'équation

^^^/sine,^ ^-coxi' siiu,^ c~^^''

Kl X £t COSéCEi — COSfii X £jCOSéC£, — COSCj