CHAPITRE V, - SPHÈRE SOLIDE

Nous considérerons le cas où, toutes 1ns autres conditions demeurant les mêmes, la valeur X du rayon de la sphère deviendra infiniment grande. En reprenant la construction rapportée en l'article 28.5, on

voit que, la quantité -^ devenant infinie, la droite menée par Torigino

et qui doit couper les différentes branches de la courbe se confond avec Taxe des or. On trouve donc pour les différentes valeurs de £ les quantités t:, 21:, 3u,

Le terme de la valeur de z qui contient e *'" ^' devenant, à mesure que le temps augmente, beaucoup plus grand que les suivants, cette valeur de 2, après un certain temps, est exprimée sans erreur sensible

par le premier terme seulement. L'exposant -prry étant égal à K T^ïy^^»'

on voit que le refroidissement final est très lent dans les sphères d'un grand diamètre, et que l'exposant de e qui mesure la vitesse du refroidissement est en raison inverse du carré des diamètres.

On peut, d'après les remarques précédentes, se former une idée exacte des variations que subissent les températures pendant le refroidissement d'une sphère solide. Les valeurs initiales de ces températures changent successivement, à mesure que la chaleur se dissipe par la surface. Si les températures des diverses couches sont d'abord égales, ou si elles diminuent depuis la surface jusqu'au centre, elles ne peuvent point conserver leurs premiers rapports et, dans tous les cas, le système tend de plus en plus vers un état durable qu'il ne tarde point à atteindre sensiblement. Dans ce dernier état, les températures décroissent depuis le centre jusqu'à la surface. Si Ton représente par un certain arc e, moindre que le quart de la circonférence, le rayon total de la sphère et que, divisant cet arc en parties égales, on prenne en chaque point le quotient du sinus par l'arc, le système d(^ ces rapports représentera celui qui, s'établit de lui-même entre les tem-

pératures des couches d'une égale épaisseur. Dès que ces derniers rapports ont lieu, ils continuent de subsister pendant toute la durée du refroidissement. Alors chacune des températures diminue comme l'ordonnée d'une logarithmique, le temps étant pris pour abscisse. On peut reconnaître que cet ordre est établi, en observant plusieurs valeurs successives s, z\ z'\ z'", ..., qui désignent la température moyenne pour les temps /, / -f- 6, ^ h- 26, t 4- 36, . . .; la suite de ces valeurs converge toujours vers une progression géométrique et, lorsque

les quotients successifs 9> tï» ^' •• ne changent plus, on en conclut

que les rapports dont il s'agit sont établis entre les températures. Lorsque la sphère est d'un petit diamètre, ces quotients sont sensiblement égaux dès que le corps commence à se refroidir. La durée du refroidissement pour un intervalle donné, c'est-à-dire le temps nécessaire pour que la température moyenne z soit réduite à une partie

déterminée d'elle-même ~5 est d'autant plus grande que la sphère a un

plus grand diamètre*

Si deux sphères de même matière et de dimensions différentes sont parvenues à cet état final où les températures s'abaissent en conservant leurs rapports, et que l'on veuille comparer les durées d'un même refroidissement, c'est-a-dire le temps 0 que la température moyenne z de la

première emploie pour se réduire à — > et le temps 6' que la température :;' de la seconde met à devenir — » il faut considérer trois cas diffé-

nx

rents. Si les sphères ont l'une et l'autre un petit diamètre, les durées B et 6' sont dans le rapport même des diamètres. Si les sphères ont l'une et l'autre un diamètre très grand, les durées 6 et 0' sont dans le rapport des carrés des diamètres; et si les sphères ont des diamètres compris entre ces deux limites, les rapports des temps seront plus grands que ceux des diamètres, et moindres que ceux de leurs carrés. On a rapporté plus haut les valeurs exactes de ces rapports. La question du mouvement de la chaleur dans une sphère comprend