COS

tiennent point à Téquation e — X tang£ = o, puisque ces racines sont toutes (le la forme m -^ n\j— i; 2^ l'équation sine — jcoss = o a nécessairement toutes ses racines réelles lorsque X est moindre que l'unité. Pour prouver cette dernière proposition, il faut considérer sins comme le produit d'une infinité de facteurs, qui sont

K'~5)('-A)('-Fp)('-4^)"-'

et considérer cose comme dérivant de sine par la différentiation. On supposera qu'au lieu de former sine du produit d'un nombre infini d facteurs on emploie seulement les m premiers, et que Ton désigne 1 produit par 9/„(£). Pour trouver la valeur correspondante qui remplace

cose, on prendra —^7^ ou 9^„(^)- ^^'^ posé, on aura l'équation

Or, en donnant au nombre m ses valeurs successives i, 2, 3, . . . de-

el que le second membre y est toujours plus grand en valeur absolue que le premier. En effet, ce second membre peut s'écrire •

ey -A- e-y ey —- (f-y

(ey—e-y)^

Or on a

ey-^e-y^ I 4sin*.r 4.r2

ey—e-y ^ jr^ (ë3— e-j)« ^ 4^*

Le second membre est donc plus grand que

il ne peut donc être égal à celte expression multipliée par la fraction X.

11 y a dans la suite de cet article un certain nombre de points inexacts ou contestables: mais, comme on pourrait le supprimer en entier sans interrompre la suite des idées, nous nous sommes contenté de reproduire sans changement le texte de Fourier.