CHAPITRE yi. ~ CYLINDRE SOLIDE

la suite Téquation différentielle dont cette série dérive; on regarde ici la fonction u comme étant connue, et Ton a

*-gki

pour la valeur particulière de r.

L'état de la surface convexe du cylindre est assujetti à une condition exprimée par l'équation déterminée

dx

qui doit être satisfaite lorsque le rayon a? a sa valeur totale X; on en conclura Téquatton déterminée

Ainsi le nombre g qui entre dans la valeur particulière e'^^'Ui n'est point arbitraire : il est nécessaire que ce nombre satisfasse à l'équation précédente, qui contient g etX. Nous prouverons que cette équation en g, dans laquelle A et X sont des quantités données, a une infinité de racines, et que toutes ces racines sont réelles. Il s'ensuit que l'on peut donner à la variable v une infinité de valeurs particulières, de la forme e'^^^u, qui différeront seulement par l'exposant g. On pourra donc composer une valeur plus générale en ajoutant toutes ces valeurs particulières, multipliées par des coefficients arbitraires. L'intégrale qui servira à résoudre dans toute son étendue la question proposée est donnée par l'équation suivante

gi, gi, g's» . . . désignent toutes.les valeurs de g qui satisfont a l'équation déterminée; u^^ u^y u^, ... désignent les valeurs de u qui correspondent à ces différentes racines; «i, ^2, a,, ... sont des coefficients arbitraires, qui ne peuvent être déterminés que par l'état initial du solide.

33V THEORIE DE LA CïlALEUH.

Il faut maintenant examiner la nature de l'équation déterminée qui donne les valeurs de g et prouver que toutes les raeines de cette équalion sont réelles, recherche qui exige un examen attentif.

Dans la série

qui exprime la valeur que reçoit u lorsque ^ = X, on remplacera ^^

par la quantité 0, et, désignant par/(0) ou y cette fonction de 0, on aura

Téquation déterminée deviendra

ou

/'(O) désignant la fonction ' Jr '

Chacune des valeurs de 0 fournira une valeur pour g, au moyen de Féquation

et Ton obtiendra ainsi les quantités ^,, g.^ qui entrent en nombre

infini dans la solution cherchée.

La question est donc de démontrer que ''équation

doit avoir toutes ses racines réelles. Nous prouverons, à cet effet, quo l'équation