CHAPITRE VI.- CYLINDRE SOLIDE

a toutes ses racines réelles; qu'il en est de même, par conséquent, de Téquation

et qu'il s'ensuit que l'équation

a aussi toutes ses racines réelles, A représentant la quantité connue

L'équation

étant diiïérentiée deux fois, donne la relation suivante :

dv .^ d* V

•^ dO dO*

On écrira, comme il suit, cette équation et toutes celles que l'on en déduit par la diiïérentiation

dy .d' y dO dh^

dv d^Y rd} Y

dO ^ dh'' ' rfO» "" '

drY ^d^y ^d"" y

d^j^ dO' d^y*

et, en général.

Or, si l'on écrit dans l'ordre suivant l'équation algébrique

X=io

et toutes celles qui en dérivent parla différentiation

et si l'on suppose que toute racine réelle d'une quelconque de ces équations, étant substituée dans celle qui la précède et dans celle qui la suit, donne deux résultats de signe contraire, il est certain que la proposée X = o a toutes ses racines réelles, et que, par conséquent, il en est de même de toutes ses équations subordonnées

d^-""' "Zt-^-"'' Z?^"-''' •••'

ces propositions sont fondées sur la théorie des équations algébriques et ont été démontrées depuis longtemps (*). Il suffit donc de prouver

(*) Fourier énonce ici une des conséquences du beau théorème qui conslilue sa découverle capitale dans cette théorie des équations algébriques et transcendantes qui n'a jamais cessé de l'occuper et à laquelle il a consacré un Ouvrage spécial, VJnaljse des équationx déterminées. On sait que la première Partie de ce Traité a seule paru et a été publiée en i83i par les soins de Navier, un an environ après la mort de Fourier.

Fourier applique à l'équation transcendante

une proposition qui n'est démontrée que pour les équations algébriques. Dans le XIX* Caliier du Journal de l'École Polj technique ^ page 382, Poisson présente à ce sujet quelques remarques critiques qui paraissent justifiées. Il considère l'équation

où a désigne une constante positive, différente de l'unité. La fonction y est une solution particulière de l'équalion différentielle

d^r , . dr

à laquelle on peut appliquer littéralement tous les raisonnements de Fourier. Si la proposition admise dans le texte était exacte, on devrait donc conclure que l'équation (a) a toutes ses racines réelles. Or cette équation n'a qu'une racine réelle si b est négatif; elle n'en a aucune si b est positif, et, dans les deux cas, elle a une infinité de racines imaginaires. Cela suffit, semble-t-il, à décider la question.

Cette objection do Poisson avait été très sensible à Fourier; il y revient à diverses reprises, notamment à la page 6i6 du tome VllI des Mémoires de l'Académie des Sciences et dans un travail spécial intitulé : Remarques générales sur l'appUcation des prbicipes de l'Analyse algébrique aux équations transcendantes, inséré au tome X, page 119, du même Recueil.

11 ne faudrait pas conclure des remarques précédentes que le théorème de Fourier ne peut être d'aucune utilité dans l'étude des équations transcendantes. Convenablement appliqué, il joue, au contraire, dans la résolution de ces équations, un rôle très important que Fourier a été le premier à signaler. On s'en assurera aisément en relisant divers passages de l'Ouvrage que nous avons cité plus haut. G. D.