CHAPITRE VI. - CYLINDRE SOLIDE

que les équations

remplissent la condition précédente. Or cela suit de l'équation générale

car, si Ton donne à ô une valeur positive qui rende nulle la fluxion

•^QM^ les deux autres termes -^ et ^^^^ recevront des valeurs de

signe opposé. A l'égard des valeurs négatives de 6, il est visible, d'après la nature de la fonction /(6), qu'aucune quantité négative mise à la place de 6 ne pourrait rendre nulle ni cette fonction, ni aucune de celles qui en dérivent par la différentiation ; car la substitution d'une quantité négative quelconque donne à tous les termes le même signe. Donc on est assuré que l'équation

a toutes ses racines réelles et positives.

Il suit de là que l'équation

a aussi toutes ses racines réelles; ce qui est une conséquence connue des principes de l'Âlgëbre. Examinons maintenant quelles sont les

valeurs successives que reçoit le terme 6 -i^TETi ou 6 ~> lorsqu'on

donne à 6 des valeurs continuellement croissantes, depuis 6 = 0

jusqu'à 6 = 00. Si une valeur de 0 rend y nulle, la quantité 0^

devient nulle aussi; elle devient infinie lorsque 6 rend y nulle. Or il suit de la théorie des équations que, dans le cas dont il s'agit, toute racine de

est placée entre deux racines consécutives de

et réciproquement. Donc, en désignant par Oj et 6, deux racines con sécutives de l'équation

et par Oj la racine de l'équation

qui est placée entre 0| et 0.„ toute valeur de 0, comprise entre 6, et 0^,

donnera à jun signe différent de celui que recevrait cette fonction y,

y' si 6 avait une valeur comprise entre 63 et 0,. Ainsi la quantité 6— est

nulle lorsque 0 = 6,; elle est infinie lorsque 0 = 0^, et nulle lorsque

6 = Ô3. Il est donc nécessaire que cette quantité 6— prenne toutes les

valeurs possibles, depuis zéro jusqu'à l'infini, dans l'intervalle de 0, à 62, et prenne aussi toutes les valeurs possibles de signe opposé, depuis l'infini jusqu'à zéro, dans l'intervalle de 63 à 0,. Donc l'équation

a nécessairement une racine réelle entre 0, et 0,; et, comme l'équation a toutes ses racines réelles en nombre infini, il s'ensuit que l'équation

a la même propriété. On est parvenu à démontrer de cette manière que l'équation déterminée

hX 2« a». 4* 2«.4*.6*

2* 2». 4* 2*.4«.6* dont l'inconnue est g*, a toutes ses racines réelles et positives.