CHAPITRE VI. - CYLINDRE SOLIDE

Nous aUons poursuivre cet examen de la fonction // et de l'équation différentielle à laquelle elle satisfait.

De Téquation

on déduit Téquation générale

et, si Ton suppose 0 == o, on aura Téquation

^'^Vr > d^y

de^^' "" i-^i do

qui servira à déterminer les coefficients des différents termes du développement de la fonction /(ô); car ces coefficients dépendent des valeurs que reçoivent les rapports différentiels lorsqu'on y fait la variable nulle. En supposant le premier connu et égal à i , on aura la série

Si, maintenant, dans Téquation proposée

I du d^u

° X dx dx^

on fait

et que Ton recherche la nouvelle équation en u et 0, en regardant u comme une fonction de 0, on trouvera

du ,, cP //

d'où l'on conclut

Il est facile d'exprimer ia somme de cette série. Pour obtenir ce résultat, on développera comme il suit la fonction cos(asin.r) en cosinus d'arcs multiples. On aura, par les transformations connues,

*ae'»^- !a«-'V-. - -U^'*^ Ue-'^-

2COs(asin.r) ^=e* e * 4-c * e*

et, désignant e^^^"* par o),

2 cos(asinjr) = c ' e * -h e * c * .

En développant le second membre selon les puissances de (o, on trouvera que le terme qui ne contient point a> dans le développement de cos(asin.r) est

les coefficients de (o\ w', o)% ... sont nuls; il en est de même des coefficients des termes qui contiennent (o"\ co""', (*>•"*, ...; le coefficient de co~^ est le même que celui de co'; le coefficient de oi' est

-~r-7r-3 — • « / ^-ô h ... ; le coefficient de co~* est le même que celui

de co*; il est aisé d'exprimer la loi suivant laquelle ces coefficients se succèdent; mais, sans s'y arrêter, on écrira 2cos2a? au lieu de (o)* -h 0)"*), ou 2cos4»ï? au lieu de (co* -+- co"*), et ainsi de suite. Donc la quantité cos(asina7) peut être facilement développée en une série

de la forme

A -H Bcos2.r-f- Ccos4^-hDcos6vF -k. . .

et le premier coefficient k est égal à

Si l'on compare maintenant l'équation générale que nous avons donnée