CHAPITRE VI. - CYLINDRE SOLIDE

précédemment

à celle-ci

cos(asina7)=r A-h Bcosax -h Gcos4^ -H. . .,

on trouvera les valeurs des coefficients A, B, C exprimées par des intégrales définies. Il suffit ici de trouver celle du premier coefficient A. On aura donc

A= - / cos(asinj?)e/a?,

rintégrale devant être prise depuis a? = o jusqu'à a: = u. Donc la valeur de la série

est celle de l'intégrale définie

- I cos{ocs\nx)dx.

On trouverait de la même manière, par la comparaison des deux équations, les valeurs des coefficients suivants B, C, . ..; on a indiqué ces résultats parce qu'ils sont utiles dans d'autres recherches qui dépendent de la même théorie (*)• Il suit de là que la valeur particulière de u qui satisfait à l'équation

d^u i du

H i — h irii = o

dx* X dx ^

(*) Les fonctions A, B, C, . . . , dont Fourier signale ici toute Timportance, sont celles qui ont été étudiées depuis par Bessel, Jacobi, Hansen et un grand nombre d'autres géomètres. Il faut, toutefois, pour avoir Tensemble des fonctions de Bessel, joindre aux précédentes celles qui résultent du développement de la fonction 8in((xsin.r).

Le groupe complet des fonctions de Bessel peut être considéré comme défini par les dcu-x équations

co8(acosjc)= Jo(«) -4-2Jî(a)cosax-+- 2J4(a)cos4.r4-....

sinCasinx) = aJi(a)sinx-+- 2J3(x)sin3.r -f-. . ..

est

- j cos{x ^gsinr) dry

l'intégrale étant prise depuis r=o jusqu'à r = Tz. En désignant par q celte valeur, on fera dans l'équation linéaire

Il z= (js;

l'équation en s ainsi obtenue aura pour intégrale

aeib désignant deux constantes arbitraires; on aura donc, pour l'intégrale complète de l'équation

d^u I du

l'expression

^-HÔTT / - r-.. — =jt| /cos(xv/isin/)flf/-.

^ J? I cos{x^^s'inr)dr\ y

Si l'on suppose 6 = o, a = 1, on aura, comme précédemment,

uz=z ^ j cos{x^S}nr)dr,

Nous ajouterons les remarques suivantes, relatives à cette dernière expression.

L'équation

se vérifie d'elle-même. En effet, on a