CHAPITRE VL - CYLINDRE SOLIDE

et, intégrant depuis w = o jusqu'à u = iz en désignant par Sj, S^, So, ... les intégrales définies

lie j^lZ yfTC

- / sin^udu, ~ I sin^ udUf - 1 sm^uduy ...,

T^Ja ^A *^A

on aura

cos(ôsin«)c/a=: i S, h tt-? S* ô— 7— -- tî S^-h . . .;

il reste à déterminer S2, S4, Se, Le terme sin"tt, /i étant un nombre

pair, peut être développé ainsi

sin^M^:: A„-f-B;,cos2w H-CrtCos4" + . • •;

en multipliant par du, et intégrant entre les limites u = o et u = t., on aura seulement

les autres termes s'évanouissent. On a, d'après la formule connue pour le développement des puissances entières du sinus,

AI . i«o . i>o<«j

En substituant ces valeurs de Sa, S4^Se, S,, . . ., on trouve

- I cos(9smu)du

On peut rendre ce résultat plus général en prenant, au lieu de cos(^sinf/), une fonction quelconque 9 de /sinw.

Supposons donc que Ton ait une fonction 9(5) qui soit ainsi développée

9(5) = cp 4- 59'-h ^ / -h ^ < -h. . .;

on aura

(p(^sinw) =9 -I- ^9'sinw H — 9'sin'a H ^9''sin*a

- / 9(^sinw)<iw = 9 -h ^9'S|H — 9' S, h ^ 9^^534-

ir ^y 2 2.0

Or il est facile de voir que S,, S„ S5, ... ont des valeurs nulles. A l'égard de S2, S4, Se» ...» leurs valeurs sont les quantités que nous avons désignées précédemment par A^, A4, A5, — C'est pourquoi, en substituant ces valeurs dans l'équation (e), on aura généralement et quelle que soit la fonction ç

Dans le cas dont il s'agit, la fonction ff{z) représente coss, et Ton a o = I , ç" = — I , ç*"" = I , ç"" = — I et ainsi de suite ( * ).

Pour connaître entièrement la nature de la fonction /(ô), et celle de Téquation qui donne la valeur de g^ il faudrait considérer la figure de la ligne qui a pour équation

y — I — ^ -h -r — rv-^r -h . . .

et qui forme avec Taxe des abscisses des aires, alternativement positives ou négatives, qui se détruisent réciproquement; on pourrait aussi rendre plus générales les remarques précédentes sur l'expression des valeurs des suites en intégrales détinies. Lorsqu'une fonction d'une variable a; est développée selon les puissances de x^ on en déduit facilement la fonction que représenterait la même série si l'on remplaçait

(1) II va ici plusieurs fautes de calcul. Les ioLcgrales Si, S3. ... ne sont nulles que si elles sont prises entre les limites o et aie. Alors les intégrales Si, S4, Ss, ... ont pour valeurs, non les coefficients Aj, A4, Ae, mais leurs doubles. On est ainsi conduit à la formule

aitjç *^ ^ a* ^ a*. 4*^

Si Ton fait

on a évidemment

— I cos (i sïnu ) €iu = - j cos(/sintt)rf//,

et Ton retrouve la formule donnée plus haut par Fourier. G. D.