CHAPITRE VI. - CYLINDRE SOLIDE. :î

tion Uj ou

m jc' m* x^ tn} x^

lorsqu'on met successivement au lieu de -r les valeurs g^, g^, g^, .... En faisant / = o, on a Téquation

V = «1 w, -h «1 w, -h a, Mj -h . . . ,

dans laquelle V est une fonction donnée de x. Soit (f{œ) cette fonction, et représentons la fonction u^ dont l'indice est i par ^{x \/gi). On aura

Pour déterminer le premier coefficient, on multipliera chacun des membres de l'équation par a, dx, a^ étant une fonction de x, et Ton intégrera depuis 07 = 0 jusqu'à ^ = X. On déterminera cette fonction cr, en sorte qu'après les intégrations le second membre se réduise au premier terme seulement, où se trouve le coefficient a<, toutes les autres intégrales ayant une valeur nulle. Pour déterminer le second coefficient a,, on multipliera pareillement les deux termes de l'équation

(p(^) = ^1 Wi -h a, w, -h «3 «3 -h . . .

par un autre facteur 0-3 rfj?, et Ton intégrera depuis x = o jusqu'à x = X. Le facteur o-j devra être tel que toutes les intégrales du second membre s'évanouissent excepté une seule, savoir celle qui est affectée du coefficient «2. En général, on emploie une suite de fonctions de .r désignées par (r<, (Xj, a,, ..., qui correspondent aux fonctions u^, u.j,, w,, ... ; chacun de ces facteurs o- a la propriété de faire disparaître par l'intégration tous les termes qui contiennent des intégrales définies, excepté un seul; on obtient de cette manière la valeur de chacun des coefficients a,, «2» ^.j» H f^ut donc chercher quelles sont les fonctions qui jouissent de la propriété dont il s'agit.

on a

Chacun des ternies du second membre de l'équation est une intégrale définie de cette forme afaudx\ u est une fonction de x qui satisfait k Téquation

m I du (Pu

A X dur djc^ '" '

on aura donc

/' , k r( fj du d^ii\ ,

a I (ju dx = — a — f | — 5 h a -7— r | ax,

j m J \x dx dx^ J

Kn développant, au moyen de l'intégration par parties, les termes

/(T du ' r d}u ,

J X dx X J \xj

r d^u . ^ du da f d*(7 ,

j^-^dx=:D+-a-^u-^ju — dx.

Les intégrales devant être prises entre les limites ,r — o et a; =: X, on déterminera par cette condition les quantités qui entrent dans le

développement et ne sont point sous le signe /. Pour indiquer que

l'on suppose x =^ o dans une expression quelconque en Xy on affectera cette expression de l'indice a, et on lui donnera l'indice (o pour indiquer la valeur que prend la fonction de x lorsqu'on donne à cette variable X sa dernière valeur X.

On aura donc, en supposant a? = o dans les deux équations précé- .dentes,

on détermine ainsi les constantes C et D. Faisant ensuite 0- = X dans ces mêmes équations, et supposant que l'intégrale est prise depuis .r = o jusqu'à ir = X, on aura

J X dx '^ '^\ x)^'~'\x)ai j" \x)