CHAPITRE VI. - CYLINDRE SOLIDE

et

,/ djc* \dj:^ dx) ^^ \dx dxjy^ J dx^ " '

on obtient ainsi l'équation

r , / \ d*^ "^[xj \. (du do a\

(du di a \

dx dx «*'/a

Si la quantité

d>f3 ^\x dx* dx

qui multiplie u sous le signe d'intégration dans le second membre était égale au produit de a par un coefficient constant, les termes

fh-'M]^' /'"

dx

pourraient être réunis en un seul et Ton obtiendrait, pour l'intégrale cherchée f^udx, une valeur qui ne contiendrait que des quantités déterminées, et aucun signe d'intégration. 11 ne resterait plus qu'à égaler cette valeur à zéro.

Supposons donc que le facteur cr satisfasse à l'équation différentielle du second ordre

dx* dx k

de même que la fonction u satisfait à l'équation

d*u I du . m

dx* X dx k '

m et n étant des coefficients constants, on aura

n — m r , (du d(7 fs\ f du drs rj \

— , — /crartx — (-r-a — w-j hw— ) — (-j-o- — w-, — hw-l'

k J \da) dx ^J ta \dx dx x /«

Il existe entre a et a une relation très simple, qui se découvre lorsque, dans l'équation

\x/ cPi

k dx dx^ '

on suppose

fj=. xs;

on a, par le résultat de cette substitution, l'équation .

n I ds d*s

k X dx dx^

ce qui fait voir que la fonction 5 dépend de la fonction u donnée par l'équation

m i du d*u

k X dx dx*

11 suffit, pour trouver ^, de changer m en n dans la valeur de u; on a désigné cette valeur de u par ^'(^v/^jî celle de a sera donc

On aura maintenant

du d(j a

-j-tj^ U-j 1-*/-

ax ax- X

Les deux derniers termes se détruisant d'eux-mêmes, il s'ensuit qu'en faisant a? = o, ce qui correspond à l'indice a, le second membre entier