CHAPITRE VI. - CYLINDRE SOLIDE

Il résulte de Tanalyse précédente que l'on a les deux équations

Jf X Ui Ui dx^r^Oy / vT Uj d.l' z=l\ | -J- ( ^.: | 1

la première a lieu toutes les fois que les nombres i et y sont différents, et la seconde lorsque ces nombres sont égaux. Reprenant donc l'équation

dans laquelle il faut déterminer les coefficients a,, a.,, a.^, .. ., on trouvera un de ces coefficients, désigné par a^, en multipliant les deux membres de l'équation ^^v xuidx et en intégrant depuis .r = o jusqu'à X = \\ le second membre sera réduit par cette intégration à un seul terme, et l'on aura l'équation

iix^{x)Uidx^=z,ai\^\]j\\-\-{ — -=\ J,

J L Vn^^A/ J

qui donne la valeur de a,-. Les coefticientsûi, a^, «;,, ... étant ainsi déterminés, la condition exprimée par l'équation

qui se rapporte à l'état initial, sera remplie.

Nous pouvons maintenant donner la solution complète de la question proposée; elle est exprimée par l'équation suivante :

X (^{x)u^ dx

/ ^^{J^)uxdx „^ / x<f{x)u^dx „^.,

«iC ^' H--'—/ /l%'*-v-''2e

J\ X (^{x)u^dx o

Yl •

La fonction de Xy qui est exprimée par Ui dans Téquation précédente, a pour expression

TT / ^^^ (iT ^^^ ^*" V ^^ '

toutes les intégrales par rapport à x doivent être prises depuis a == o jusqu'à ^ = X et, pour trouver la fonction i//, on doit intégrer depuis q=io jusqu'à 7 = 1:; ^(.r) est la valeur initiale de la température, prise dans l'intérieur du cylindre à la distance x de l'axe, et cette fonction est arbitraire; les quantités ô,, 63, 0,, ô^, ... sont les racines Téelles et positives de l'équation

Si Ton suppose que le cylindre ait été plongé pendant un temps infini dans un liquide entretenu à une température constante, toute la masse se trouvera également échauffée, et la fonction ff[x) qui représente l'état initial sera remplacée par l'unité. Après cette substitution, l'équation générale représentera exactement les progrès successifs du refroidissement.

Si le temps écoulé / est infini, le second membre de l'équation ne contiendra plus qu'un seul terme, savoir celui où se trouve la moindre de toutes les racines 0<, ôj, 0,, ...; c'est pourquoi, en supposant que ces racines sont rangées selon leur grandeur et que 0, est la moindre de toutes, l'état final du solide sera exprimé par l'équation

Vr ».

On déduirait de la solution générale des conséquences semblables à