PROPAGATION DE LA CHALKUR DANS UN PRISME RECTANGULAIRE

L'équalion

^ ÔJr^ dy âz

que nous avons rapportée dans la Section IV du Chapitre II (p. loii), exprime le mouvement uniforme de la chaleur dans l'intérieur d'un prisme d'une longueur infinie, assujetti par sa base à une température constante, et dont on suppose les températures initiales nulles. Pour intégrer cette équation, on cherchera, en premier lieu, une valeur particulière de V, en remarquant que cette fonction i' doit demeurer la même lorsque y change de signe, ou lorsque z change de signe, et qu'elle doit prendre une valeur infiniment petite lorsque la distance or est infiniment grande. D'après cela, il est facile de voir que l'on peut choisir pour valeur particulière de ^ la fonction

ae-'**^ cos ny cosp z ;

et, faisant la substitution, on trouve

Mettant donc pour n et p des quantités quelconques, on aura

La valeur de ^ doit aussi satisfaire à l'équation déterminée

lorsque V est égal à /ou à — /, et à Téquation

h dv

lorsque z est égal à /ou à — /(Sect. IV du Chàp. II, art. 125). Si Ton donne a r la valeur précédente, on aura

— /isinw/4- :^cosny=.o et — /?sin/?-sH- |t-cos/>5 = o,

ou

1^ zn ni iang ni, r^ =Wlang/>/;

on voit par là que, si Ton trouvait un arc £ tel que s tange équivalût à la quantité toute connue |t/, on prendrait pour n ou pour p la quantité -.' Or il est facile de reconnaître qu'il y a une infinité d'arcs qui, multipliés respectivement par leur tangente, donnent un même produit déterminé rr^ d'où il suit que l'on peut trouver pour n et pour /? une infinité de valeurs différentes.

Si l'on désigne par e,, £2* ^39 ••• ^^^ ^rcs en nombre infini qui satisfont à l'équation déterminée

hl £ tange = 1^,

on pourra prendre pour n un quelconque de ces arcs divisé par /. Il en sera de même de la quantité p; il faudra ensuite prendre m^r=n^-{-p^. Si l'on donnait k n et k p d'autres valeurs, on satisferait à l'équation différentielle, mais non pas à la condition relative à la surface. On peut donc trouver de cette manière une infinité de valeurs particulières de f', et comme la somme de plusieurs quelconques de ces valeurs satisfait encore à l'équation, on pourra former une valeur plus générale