CHAPITRE VII. — PRISME RECTANGULAIRE

Si maintenant on fait coïncider dans le même solide ces deux états différents, le mouvement de la chaleur s'opérera librement, comme si chaque système existait seul. Dans l'état initial formé des deux systèmes réunis, chaque point du solide aura une température nulle, excepté les points de la section A dont la température sera i, ce qui est conforme à l'hypothèse. Ensuite, les températures du second système changeront de plus en plus et s'évanouiront entièrement, pendant que celles du premier se conserveront sans aucun changement. Donc, après un temps infini, le système permanent des températures sera celui que représente l'équation (E), ou

Il faut remarquer que cette conséquence résulte de la condition relative à l'état initial; on la déduira toutes les fois que la chaleur initiale contenue dans le prisme est tellement distribuée qu'elle s'évanouirait entièrement si l'on retenait la base A à la température o.

Nous ajouterons diverses remarques à la solution précédente : I® Il est facile de connaître la nature de l'équation etange:

Fi g. i5.

-si-

air

il suffit de supposer [\o\Tjîg. i5) que l'on ait construit la courbe

h:=lz longs,

l'arc £ étant pris pour abscisse et u pour ordonnée. Cette ligne est

composée de branches asymptotiques. Les abscisses qui correspondent aux asymptotes sont -> — > — > • • • ; celles qui correspondent aux points

d'intersection sont t:, 2ir, 3?:, .... Si maintenant on élève à l'origine

une ordonnée égale à la quantité connue -^ et que, par son extrémité,

on mène une parallèle à Taxe des abscisses, les points d'intersection donneront les racines de Téquation proposée

/il e lange = ^ ■

La construction indique les limites entre lesquelles chaque racine est placée. Nous ne nous arrêterons point aux procédés de calcul qu'il faut employer pour déterminer les valeurs des racines. Les recherches de ce genre ne présentent aucune diftîculté.

2° On conclut facilement de l'équation générale (E) que, plus la valeur de x devient grande, plus le terme de la valeur de (^ dans lequel se trouve la fraction e^^"*^"' devient grand par rapport à chacun des suivants. En effet, n,, /îj, n^, ... étant des quantités positives croissantes, la fraction e"^"^^"* est la plus grande de toutes les fractions analogues qui entrent dans les termes subséquents.

Supposons maintenant que l'on puisse observer la température d'un point de l'axe du prisme situé à une distance x extrêmement grande, et la température d'un point de cet axe situé à la distance ^+f, I étant l'unité de mesure; on aura alors y = o, s = o, et le rapport de la seconde température à la première sera sensiblement égal à la fraction e~^^"*. Cette valeur du rapport des températures des deux points de l'axe est d'autant plus exacte que la distance x est plus grande.

Il suit de là que, si l'on marquait sur l'axe des points dont chacun fût distant du précédent de l'unité de mesure, le rapport de la température d'un point à celle du point qui précède convergerait continuellement vers la fraction e'^^"'; ainsi les températures des points placés