CHAPITRE VIL- PRISME RECTANGULAIRE

à distances égales finissent par décroître en progression géométrique. Cette loi aura toujours lieu, quelle que soit l'épaisseur de la barre, pourvu que l'on considère des points situés à une grande distance du foyer de chaleur.

II est facile de voir» au moyen de la construction, que, si la quantité appelée /, qui est la demi-épaisseur du prisme, est fort petite, /i| a une valeur beaucoup plus petite que n^, /I3, ...; il en résulte que la première fraction e~*^^ est beaucoup plus grande qu'aucune des fractions analogues. Ainsi, dans le cas où l'épaisseur de la barre est très petite, il n'est pas nécessaire de s'éloigner de la source de la chaleur pour que les températures des points également distants décroissent en progression géométrique. Cette loi règne alors dans toute l'étendue de

la barre.

Si la demi-épaisseur /est une très petite quantité, la valeur générale de {^ se réduit au premier terme, qui contient ^-^«"î. Ainsi la fonction sf qui exprime la température d'un point dont les coordonnées sont x.yetz^ est donnée, dans ce cas, par l'équation

\':^{ — r ; ^, 1 cos/ircos/i5e-^*'* ;

l'arc £ ou Al/ devient extrêmement petit, comme on le voit par la construction. L'équation

se réduit alors à

Ê lange 11= ^l

la première valeur de £, ou £|, est i/jr'y à l'inspection de layïg". i:5

(p. 367), on connaît les valeurs des autres racines, en sorte que les quantités £«, £2, £s« • • • sont les suivantes

1 / wT-) TT, 2 71, OTT, ....

Les valeurs de /i,, n,, Rj, . . . sont donc

I pd

on en conclut, comme on Ta dit plus haut, que, si / est une très petite quantité, la première valeur n est incomparablement plus petite que toutes les autres, et que Ton doit omettre dans la valeur générale de v tous les termes qui suivent le premier. Si maintenant on substitue dans ce premier terme la valeur trouvée pour ai, en remarquant que l'arc Ti/et l'arc 2/1/ sont égaux à leurs sinus, on aura

le facteur i/^ qui entre sous les signes cosinus étant très petit, il s'ensuit que la température varie très peu pour les différents points d'une même section, lorsque la demi-épaisseur / est très petite. Ce résultat est, pour ainsi dire, évident de lui-même; mais il est utile de remarquer comment il est expliqué par le calcul. La solution générale se réduit en effet à un seul terme, à raison de la ténuité de la barre, et l'on a, en remplaçant par l'unité les cosinus d'arcs extrêmement petits.

i'irr e

équation qui exprime, dans le cas dont il s'agit, les températures stationnaires.

On avait trouvé cette même équation précédemment (art. 76, p. 55); on l'obtient ici par une analyse entièrement différente.

La solution précédente fait connaître en quoi consiste le mouvement de la chaleur dans l'intérieur du solide. Il est facile de voir que, lorsque le prisme a acquis dans tous ses points les températures stationnaires que nous considérons, il existe, dans chaque section perpendi-