CHAPITRE VII. - PRISME RECTANGULAIRE

culaire à Taxe, un flux constant de chaleur qui se porte vers l'extrémité non échauffée. Pour déterminer la quantité de ce flux qui répond à une abscisses, il faut considérer que celle qui traverse, pendant l'unité de temps, un élément de la section est égale au produit du coefficient K, de l'aire dydz et du rapport -p pris avec un signe contraire. Il faudra donc prendre l'intégrale

^^l'yfrJ''

depuis 5=0 jusqu'à z = l, demi-épaisseur de la barre, et ensuite depuis j = o jusqu'à y = L On aura ainsi la quatrième partie du flux total.

Le résultat de ce calcul fait connaître la loi suivant laquelle décroit la quantité de chaleur qui traverse une section du prisme; et l'on voit que les parties éloignées reçoivent très peu de chaleur du foyer, parce que celle qui en émane immédiatement se détourne en partie vers la surface, pour se dissiper dans l'air. Celle qui traverse une section quelconque du prisme forme, si l'on peut parler ainsi, une nappe de chaleur dont la densité varie d'un point de la section à l'autre. Elle est continuellement employée à remplacer la chaleur qui s'échappe par la surface, dans toute la partie du prisme située à la droite de la section : il est donc nécessaire que toute la chaleur qui sort pendant un certain temps de cette partie du prisme soit exactement compensée par celle qui y pénètre en vertu de la conducibilité intérieure du solide.

Pour vérifier ce résultat, il faut calculer lé produit du flux établi à la surface. L'élément de la surface est dx dy, et, ^ étant sa température* hvdxdy est la quantité de chaleur qui sort de cet élément pendant l'unité de temps. Donc l'intégrale Ay ^ y <^rfj exprime la chaleur totale émanée d'une portion finie de la surface. Il faut maintenant employer la valeur connue de ^ en y en supposant s = /; puis intégrer, une fois depuis j = o jusqu'à y =^ /, et une seconde fois depuis x = x

jusqu'à j? = ao. On trouvera ainsi la moitié de la chaleur qui sort de la surface supérieure du prisnne; et, prenant quatre fois le résultat, on aura la chaleur perdue par les surfaces supérieure et inférieure.

Si Ton se sert maintenant de rexpre&sion h j dx f vdz, que l'on donne k y dans {^ sa valeur /, que l'on intègre, une fois depuis 5 = 0 jusqu'à :; = /, et une seconde fois depuis ;r =1 j? jusqu'à or =:x, on aura la quatrième partie de la chaleur qui s'échappe par les surfaces latérales.

L'intégrale h f dv I i^dy, étant prise entre les limites désignées,

donne la valeur

sin////rfts/i/i?--gv^"*^^'\

pour chacun des terme»

^g-a-v^/««-»-/i« cQg ,,^y çQs ,1 -

de ^, et l'intégrale A fdx I s^dz donne

donc la quantité de chaFeurque îe prisme perd à sa surface, dans foule la partie située à la droite de la section dont l'abscisse est jt, se compose de tous les termes analogues à celui-ci

g-jry/m'-t-/»»/ — sio m/cos w/ H — cosm/ sîn/i/ 1.

D'un autre côté,, la quantité de chaleur qui pénètre, pendant le même temps, à travers la section dont l'abscisse est x se compose des termes analogues à celwi-ci

4 K a sjhi^ -+- n* ^ r—i — î . ... ^ e-jr^m«-^«« s,n ^,/ §,„ ^/.

il est donc nécessaire que l'on ait l'équation

— Sm/w/sm«/~ ' . — siniii/ços/i/H ==

ros//i/sin/j/

K(m'-i- n*) sin/n/sin/i/==:/2//icosm/sin/i/4- A/zsinm/cos/i/;