DU MOUVEMKNT DE LA CHALEUR DANS UN CUBE SOLIDE

Il nous reste encore à faire usage de l'équation

dv

dt

CD

^'àf*

dz'

qui représente le mouvement de la chaleur dans un solide de forme cubique exposé à l'action de l'air (Sect. Vdu Chapitre H, p. loO). On choisira en premier lieu pour {^ la valeur très simple

e""" cos n jc 0,0% p y cos g z ;

et, en substituant dans la proposée, on aura l'équation de condition

m :=i/{{n*-hp'-h 7*),

la lettre k désignant le coefficient tttt- 11 suit de là que, si Ton met au

lieu de n, p, q des quantités quelconques et si l'on prend pour m la quantité k{n^ -hp^ -h q')^ la valeur précédente de (^ satisfera toujours a l'équation aux différences partielles. On aura donc l'équation

L'état de la questioa exige aussi que, si x change de signe et si v et :; demeurent les mêmes, la fonction ne change point; et que cela ait aussi lieu par rapport à j et par rapport à 5; or la valeur de v satisfait évidemment à ces conditions.

Pour exprimer l'état de la surface, on emploiera lés équations suivantes :

(h) { dtK^ +/m' = o,

ov

az

Elles doivent être satisfaites (*) lorsque Ton a a? = ii-a, ou y==hr7, ou z=^±a. On prend le centre du cube pour l'origine des coordonnées et le côté est désigné par ia.

La première des équations [h) donne

h n%\\\nx ç,o%py ç,o%qz -h r^ cos/^J:^cos/?/ cos</5 — o

ou

h zç. n tang/io: 4- îT = o,

équation qui doit avoir lieu lorsque x = ±a{^).

Il en résulte que Ton ne peut pas prendre pour n une valeur quelconque, mais que cette quantité doit satisfaire a la condition

h /m tang/2^ =z —a.

( * ) Plus exaclement, on doit avoir

K -; — \-/iv= o

pour .r = « et

— K -T — h //(' = o ox

pour X = — a, et cela, quels que soient j- et z. Cet énoncé s'étend de lui-même aux deux autres équations. G. D.

(*) Avec correspondance des signes, c'est-à-dire on doit prendre j? = -h a s'il s'agit de

l'équation

// — n tang «.r h- — = o,

ot .r = — a dans le cas contraire. G. D.