CHAPITRE VIII. - CUBE SOLIDE. 37T
Il faut donc résoudre l'équation déterminée
h £tang6= g a,
ce qui donnera la valeur de e, et Ton prendra n = -• Or l'équation en
s a une infinité de racines réelles; donc on pourra trouver pour n une infinité de valeurs différentes. On connaîtra de la même manière les valeurs que l'on peut donner à /> et à y; elles sont toutes représentées par la construction que l'on a employée dans la question précédente (art. 328). Nous désignerons ces racines par n,, /i^, /ij, .... Ainsi l'on pourra donner à <^ la valeur particulière exprimée par l'équation
pourvu que l'on mette, au lieu de n, une des racines /i^, /ig, AI3, ..., et qu'il en soit de même de p et de q.
On peut former ainsi une infinité de valeurs particulières de i^, et il est visible que la somme de plusieurs de ces valeurs satisfera aussi h
l'équation différentielle (a) et aux équations déterminées {b). Pour
donner k ç^ la forme générale que la question exige, on réunira un
nombre indéfini de termes semblables à celui-ci
^g-A/(n«-4-/>'+7*) COS/IJC COSpy COS^S.
Nous exprimerons cette valeur de ^ par l'équation suivante :
(' ziz (a, cos/iia?e~^"î'-f- a2C0S/^2^e~*''«'^- a^ cos/i3^e""*'*î'-h. . .) («1 cos«,7e-*'*î'-h a, cos^ije-^^î'-f- a3C0S/i3/e-^'*î'-+-. . .) (ûfj cos/iise-*''î'H-a, cos/i,^e-^"î'-h a^c^o^n^z e-'"^^^ -^ . . .).
Le second membre doit se former (*) du produit des trois facteurs
(*) Il y a lieu de présenter ici une remarque analogue à celle qui se rapporte à l'article 322, p. 36i. G. D.
écrits dans les trois lignes horizontales, et les quantités ai, aj, a,, . . . sont des coefficients inconnus. Or, selon l'hypothèse, si l'on fait f = o, la température doit être la même pour tous les points du cube. Il faut donc déterminer a,, «2» ^3> ••• ^n sorte que la valeur de ^ soit constante quelles que soient celles de ^r, de y et de s, pourvu que chacune de ces valeurs soit comprise entre a et — a. Désignant par i la température initiale commune à tous les points du solide, on posera les équations
I z= «1 C0SAl|a?-4- ajC0S«jJ7-h asCOSWjJ^-h. . .,
I = a, cos /2,7 -H a, cos n^y + a» cos n^y 4- . . . , 1 =: «1 cos riiz H- a, cos n^z -h a^ cos n^z -h . . . ,
dans lesquelles il s'agit de déterminer a,, ^2, a,, Âpres avoir multiplié chaque membre de la première par cosnixdx, on intégrera depuis x = o jusqu'à a7= a : or il résulte de l'analyse employée précédemment (art. 325) que l'on a l'équation
2sin/2ia cos/2i j: asin/t«acos/2«x
/ sin2n,a\ / sinîî/«-a\ n^ai n ) /i,a( in |
désignant par (/./ la quantité - ( i -H ^'"^^^^ )> on aura
sin^?ia sin/ua sin/i.a
1= — cos /Il X -\ COS/22<^ 4- — — - C0S/l,J7-h. . .;
/ii«fXi fhaiXi n^f^l^i
cette équation aura toujours lieu lorsque l'on donnera à x une valeur comprise entre a et — a.
On peut en conclure l'expression générale de ^; elle est donnée par 1 équation suivante :
/sin/i,a ... sinriia .,,, \
r= — cosni»re-*'»»'H cos ru xc'^'^'' -h. . .
sin/Jia . ., sin/iia ... ^— -cos/îi re""*"'' H cosw, >e-*'»«* -h. . .
/sin/îja ... sin/ija . ,. -i \
( ^ cos /ïi ze ^''t ' -I cos n, z e"***' ' -h . . .
\ /i,a/xi /^îafAî /
