DE LA DIFFUSION DE LA CHALEUU

SECTION I

DU MOUVEMENT LIBRE DE Lk COALEUR DANS UNE LIGNE INFINIE.

On considère ici le mouvement de la chaleur dans une masse solide homogène dont toutes les dimensions sont infinies. On divise ce solide par des plans infiniment voisins et perpendiculaires à un axe commun, et Ton suppose d'abord qu'on a échauffé une seule partie de la masse, savoir celle qui est comprise entre deux plans A et B parallèles, dont la distance est g. Toutes les autres parties ont la température initiale o; mais chacun des plans compris entre A et B a une température initiale donnée, que Ton regarde comme arbitraire, et qui est commune à tous ses points; cette température est différente pour les différents plans. L'état initial de la masse étant ainsi défini, il s'agit de déterminer par le calcul tous les états successifs. Le mouvement dont il s'agit est seulement linéaire, et dans le sens de l'axe des plans; car il est évident qu'il ne peut y avoir aucun transport de chaleur dans un plan quelconque perpendiculaire à cet axe, puisque la chaleur initiale de tous ses points est la même.

On peut supposer, au lieu du solide infini, un prisme d'une très petijte épaisseur, et dont la surface convexe est totalement impénétrable à la chaleur. On ne considère donc le mouvement que dans une ligne infinie, qui est l'axe commun de tous les plans.

La question est plus générale lorsqu'on attribue des températures

entièrement arbitraires k tous les points de la partie de la masse qui a été échauffée, tous les autres points du solide ayant la température initiale o. Les lois de la distribution de la chaleur dans une masse solide infinie doivent avoir un caractère simple et remarquable, parce que le mouvement n'est point troublé par l'obstacle des surfaces et par l'action du milieu.

La position de chaque point étant rapportée à trois axes rectangulaires, sur lesquels on mesure les coordonnées x^ y, z, la température cherchée est une fonction des variables ^, r, z et du temps /. Celte fonction (^ ou ^[x, y, z, t) satisfait k l'équation générale

De plus, il est nécessaire qu'elle représente l'état initial, qui est arbitraire; ainsi, en désignant par Y[x^y,z) la valeur donnée delà température d'un point quelconque, prise lorsque le temps est nul, c'està-dire au moment où la diffusion commence, on doit avoir

11 faut trouver une fonction v des quatre variables x^ y, 5, t qui satisfasse k l'équation différentielle [a) et k l'équation déterminée {b).

Dans les questions que nous avons traitées précédemment, l'intégrale est assujettie k une troisième condition qui dépend de l'état de la surface. C'est pour cette raison que l'analyse en est plus composée et que la solution exige l'emploi des termes exponentiels. La forme de l'intégrale est beaucoup plus simple lorsqu'elle doit seulement satisfaire k l'état initial, et il serait facile de déterminer immédiatement le mouvement de la chaleur selon les trois dimensions. Mais, pour exposer cette partie de la théorie et faire bien connaître suivant quelle loi la diffusion s'opère, il est préférable de considérer d'abord le mouvement linéaire, en résolvant les deux questions suivantes; on verra par la suite comment elles s'appliquent au cas des trois dimensions.