CHAPITRE IX.— DIFFUSION DE LA CHALEUR

Première question. — Une partie ab d'une ligne infinie est élevée dans tous ses points à la température i; les autres parties de la ligne ont la température actuelle o, on suppose que la chaleur ne peut se dissiper dans le milieu environnant; il faut déterminer quel est Tétat de la ligne après un temps donné. On peut rendre cette question plus générale en supposant : i^ que les températures initiales des points compris entre a et è sont inégales et représentées par les ordonnées d'une ligne quelconque, que nous regarderons d'abord comme composée de deux parties symétriques [yow Jîg. i6); i"" qu'une partie de la chaleur se dissipe par la surface du solide, qui est un prisme d'une très petite épaisseur et d'une longueur infinie.

La seconde question consiste à déterminer les états successifs d'une barre prismatique, dont une extrémité est assujettie à une température constante, et qui est infiniment prolongée.

La résolution de ces deux questions dépend de l'intégration de l'équation

di "" CD dx' CDS ^'

(art. 105), qui exprime le mouvement linéaire de la chaleur; v est la température que le point placé à la distance x de l'origine doit avoir après le temps écoulé /; K, H, C, D, L, S désignent la conducibilité propre, la conducibilité extérieure, la capacité spécifique de chaleur, la densité, le contour de la section perpendiculaire, et l'aire de cette section.

Nous considérons d'abord le premier cas, qui est celui où la chaleur se propage librement dans la ligne infinie dont une partie ab a reçu des températures initiales quelconques, tous les autres points ayant la température initiale o. Si l'on élève en chaque point de la barre l'ordonnée d'une courbe plane qui représente la température actuelle de ce point, on voit qu'après une certaine valeur du temps /, l'état du

solide est exprimé par la figure de la courbe. Nous désignerons par ç=^¥(^x) Téquation donnée qui correspond à l'état initial, et nous supposons d'abord, pour rendre le calcul plus simple, que la figure initiale de la courbe est composée de deux parties symétriques, en sorte que Ton a la condition

Soit

dans l'équation

on fera

et Ton aura

Cl) '

cus~

dv dt

an-

du dt

,d'u -Sx''

On prendra pour u la valeur particulière ae~^^*^cosqx; a et ç sont des constantes arbitraires. Soient y,, ^2, y,, ... une suite de valeurs quelconques de y, et a,, a^, «s, • . . une suite de valeurs correspondantes jlu coefficient a; on aura

Supposons : i® que les valeurs ^r,, y^, y,, ... croissent par degrés infiniment petits, comme les abscisses g d'une certaine courbe, en sorte qu'elles deviennent égales à dq, adq, 3dq, ..., dq étant la différentielle constante de l'abscisse; 2° que les valeurs a,, a^, a^, ... soient proportionnelles aux ordonnées Q de la même courbe, et qu'elles deviennent égales à Qidq, Qzdq^ Qzdq, ..., Q étant une certaine fonction de q. Il en résulte que la valeur de u pourra être exprimée ainsi

à :=z f Qe'^''*' COSq a: dq ,

Q est une fonction arbitraire /(y), et l'intégrale peut être prise de q=zo à ,y = 00. La difficulté se réduit a déterminer convenablement la fonction Q.