CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

Pour y parvenir, il faut supposer t=o dans l'expression de u et régaler à Y{x). On a ainsi Féquation de condition

F(jr) = yO COS^.r dq.

Si Ton mettait au lieu de Q une fonction quelconque de q, et que Ton achevât l'intégration depuis y = o jusqu'à y = qo, on trouverait une fonction de x\ il s'agit de résoudre la question inverse, c'est-à-dire de connaître quelle est la fonction de q qui, étant mise au lieu de Q, donnera pour résultat la fonction F(ir), prohlëme singulier dont la solution exige un examen attentif.

En développant le signe de l'intégrale, on écrira comme il suit l'équation dont il faut déduire la valeur de Q

¥{x) m QiCOS^i J7f/^-*- Q^COSqtX dq -h QtCO^q^xdq -f-. . . .

Pour faire disparaître tous les termes du second membre, excepté un seul, on multipliera de part et d'autre par co^rxdx, et l'on intégrera ensuite par rapport à x depuis a? = o jusqu'à a? = /iir, n étant un nombre infini; r représente une grandeur quelconque égale à l'une des suivantes

ou, ce qui est la même chose.

dq^ *idq^ Sdq,

Soient y,- une valeur quelconque de la variable y, et qj une autre valeur qui est celle que l'on a prise pour r; on aura

r = jdq

q =. idq.

On considérera ensuite le nombre infini n ^comme exprimant com-

bien l'unilé de longueur contient de fois l'élément dq, en sorte que Ton

aura

En procédant à l'intégration, on reconnaîtra que la valeur de l'intégrale / cosy^cosr^rrfj:- est nulle toutes les fois que r et y sont des

grandeurs différentes; mais cette même valeur de l'intégrale est —

lorsque q=^r. Il suit de là que l'intégration élimine dans le second membre tous les termes, excepté un seul, savoir celui qui contient qj ou r. La fonction qui affecte ce même terme est Qy; on aura donc

/ITT

Xà

et, mettant pour ndq sa valeur i, on a

■^ = i F(vr) cosqxdx;

on trouve donc, en général,

-^ = / F{x)cosgjrd.r.

Ainsi, pour déterminer la fonction Q qui satisfait à la condition proposée, il faut multiplier la fonction donnée F(.r) par cosy^rr/.r, et intégrer de a? nulle k a: infinie, en multipliant le résultat par -j c'està-dire que, de l'équation

¥{x) — I f{q) cosqjcdq,

on déduit celle-ci

/{q)=i- I V{x)cosqœdjr.

Va\ substituant la valeur de f[q) dans l'expression de V[x), on obtient l'équation générale